2019年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專練：導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(2)

　　解：（Ⅰ）f(x)=ex·cosx－x  ∴f(0)=1

　　∴f ?(x)=ex（cosx－sinx）－1 ，f?(0)=0

　　∴y=f(x)在（0，f(0)）處切線過點(diǎn)（0,1），k=0

　　∴切線方程為y=1

　　（Ⅱ） f ?(x)=ex（cosx－sinx）－1，設(shè)f ?(x)=g(x)   ∴g?(x)=－2sinx·ex≤0

　　∴g(x)在［0， ］上單調(diào)遞減，

　　∴g(x)≤g(0)=0

　　∴f ?（x）≤0

　　∴f(x)在［0， ］上單調(diào)遞減，f(x)max=f(0)=1 ∴f(x)min=f( )=－

　　6.（2015o課標(biāo)全國(guó)II卷文）(本小題滿分12分)

　　已知函數(shù) .

　　(I)討論 的單調(diào)性；

　　(II)當(dāng) 有最大值，且最大值大于 時(shí)，求 的取值范圍.

　　解：(1) f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.

　　若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

　　若a>0，則當(dāng)x∈0，1a時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈1a，＋∞時(shí)，f′(x)<0.

　　所以f(x)在0，1a上單調(diào)遞增，在1a，＋∞上單調(diào)遞減．

　　(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；

　　當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x＝1a處取得最大值，最大值為f1a＝ln1a＋a1－1a＝－ln a＋a－1.

　　因此f1a>2a－2等價(jià)于ln a＋a－1<0.

　　令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0.

　　于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.

　　因此，a的取值范圍是(0，1)．

　　【點(diǎn)評(píng)】測(cè)訓(xùn)診斷：本題難度較大，是本套試題的壓軸題之一，主要考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的求解、函數(shù)的最值，意在考查考生的分類討論思想及函數(shù)方程思想的應(yīng)用，綜合分析問題的能力．

　　7. （2015·山東理）(本小題滿分14分)

　　設(shè)函數(shù) ，其中 .

　　(I)討論函數(shù) 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

　　(II)若 ， 成立，求 的取值范圍. 解：(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．

　　f ′(x)＝1x＋1＋a(2x－1)＝2ax2＋ax－a＋1x＋1.

　　令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．

　　當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，

　　此時(shí)f ′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．

　　當(dāng)a>0時(shí)，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．

　　a．當(dāng)0<a≤89時(shí)，Δ≤0，g(x)≥0，f ′(x)≥0，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．

　　b．當(dāng)a＞89時(shí)，Δ>0，設(shè)方程2ax2＋ax－a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)．

　　因?yàn)閤1＋x2＝－12，所以x1＜－14，x2＞－14.

　　由g(－1)＝1>0，可得－1<x1<－14，

　　所以當(dāng)x∈(－1，x1)時(shí)，g(x)>0，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

　　當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)<0，f ′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

　　當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)>0，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．

　　因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

　　當(dāng)a<0時(shí)，Δ>0，當(dāng)g(－1)＝1>0，可得x1<－1.

　　當(dāng)x∈(－1，x2)時(shí)，g(x)>0，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

　　當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)<0，f ′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

　　所以函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)．

　　綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；

　　當(dāng)0≤a≤89時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；

　　當(dāng)a>89時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)．

　　(2)由(1)知，①當(dāng)0≤a≤89時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

　　因?yàn)閒(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)>0，符合題意．

　　②當(dāng)89<a≤1時(shí)，由g(0)≥0，得x2≤0.

　　所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

　　又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)>0，符合題意．

　　③當(dāng)a>1時(shí)，由g(0)<0，可得x2>0.

　　所以x∈(0，x2)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

　　因?yàn)閒(0)＝0，所以x∈(0，x2)時(shí)，f(x)<0，不合題意．

　　④當(dāng)a<0時(shí)，設(shè)h(x)＝x－ln(x＋1)，

　　因?yàn)閤∈(0，＋∞)時(shí)，h′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1>0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

　　因此當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h(x)>h(0)＝0，即ln(x＋1)<x，

　　可得f(x)<x＋a(x2－x)＝ax2＋(1－a)x，

　　當(dāng)x>1－1a時(shí)，ax2＋(1－a)x<0，

　　此時(shí)f(x)<0，不合題意．

　　綜上所述，a的取值范圍是[0，1]．