高考數學知識點：函數導數不等式

　　重點一  《函數、導數、不等式》

　　一、知識要點

　　1．映射：注意 ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。

　　2．函數值域的求法：

　　①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；

　　⑤換元法 ；⑥利用均值不等式  ； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（ 、 、 等）；⑨導數法

　　3．復合函數的有關問題

　　（1）復合函數定義域求法：

　　① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出

　　② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。

　　（2）復合函數單調性的判定：

　　①首先將原函數 分解為基本函數：內函數 與外函數 ；

　　②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；

　　③根據"同性則增，異性則減"來判斷原函數在其定義域內的單調性。

　　注意：外函數 的定義域是內函數 的值域。

　　4．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。

　　5．函數的奇偶性

　　⑴函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；

　　⑵ 是奇函數  ；

　　⑶ 是偶函數  ；

　　⑷奇函數 在原點有定義，則 ；

　　⑸在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性；

　　（6）若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；

　　6．函數的單調性

　　⑴單調性的定義： 在區間 上是增（減）函數 當 時   ；

　　⑵單調性的判定定義法：注意：一般要將式子 化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；②導數法（見導數部分）；③復合函數法（見2 （2））；④圖像法。

　　注：證明單調性主要用定義法和導數法。

　　7．函數的周期性

　　(1)周期性的定義：對定義域內的任意 ，若有  （其中 為非零常數），則稱函數 為周期函數， 為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。

　　（2）三角函數的周期

　　①  ；②  ；③ ；

　　④  ；⑤ ；

　　⑶函數周期的判定：①定義法（試值） ②圖像法  ③公式法（利用（2）中結論）

　　⑷與周期有關的結論：

　　① 或    的周期為 ；

　　② 的圖象關于點 中心對稱  周期2 ；

　　③ 的圖象關于直線 軸對稱  周期為2 ；

　　④ 的圖象關于點 中心對稱，直線 軸對稱  周期4 ；

　　8．基本初等函數的圖像與性質

　　⑴冪函數：  （  ；⑵指數函數： ；

　　⑶對數函數: ；⑷正弦函數: ；

　　⑸余弦函數：  ；（6）正切函數： ；⑺一元二次函數： ；

　　⑻其它常用函數：①正比例函數： ；

　　②反比例函數： ；特別的 ，函數 ；

　　9．二次函數：

　　⑴解析式：

　　①一般式： ；

　　②頂點式： ， 為頂點；

　　③零點式：  。

　　⑵二次函數問題解決需考慮的因素：

　　①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。

　　⑶二次函數問題解決方法：①數形結合；②分類討論。

　　10．函數圖象

　　⑴圖象作法 ：①描點法（注意三角函數的五點作圖）②圖象變換法③導數法

　　⑵圖象變換：

　　①    平移變換：ⅰ ， ---左"+"右"-"；

　　ⅱ ---上"+"下"-"；

　　②    伸縮變換：

　　ⅰ ， （ ---縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的 倍；

　　ⅱ ， （ ---橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的 倍；

　　③    對稱變換：ⅰ   ；ⅱ   ；

　　ⅲ    ； ⅳ   ；

　　④    翻轉變換：

　　ⅰ ---右不動，右向左翻（ 在 左側圖象去掉）；

　　ⅱ ---上不動，下向上翻（| |在 下面無圖象）；

　　11．函數圖象（曲線）對稱性的證明

　　(1)證明函數 圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

　　（2）證明函數 與 圖象的對稱性，即證明 圖象上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點在 的圖象上，反之亦然；

　　注：①曲線C1:f(x,y)=0關于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;

　　②曲線C1:f(x,y)=0關于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x, y)=0;

　　③曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

　　④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)圖像關于直線x= 對稱；

　　特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)圖像關于直線x=a對稱；

　　⑤函數y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關于直線x= 對稱；

　　12．函數零點的求法：⑴直接法（求 的根）；⑵圖象法；⑶二分法.

　　13．導數

　　⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作 ；

　　⑵常見函數的導數公式:

　　①  ；② ；③ ；

　　④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧  。

　　⑶導數的四則運算法則：

　　⑷（理科）復合函數的導數：

　　⑸導數的應用：

　　①利用導數求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎？ⅱ所求的是"在"還是"過"該點的切線？

　　②利用導數判斷函數單調性：

　　ⅰ 是增函數；ⅱ 為減函數；ⅲ  為常數；

　　③利用導數求極值：ⅰ求導數 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得極值。

　　④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。

　　14、不等式

　　（1）均值不等式： 注意：①一正二定三相等；②變形，

　　（2）不等式等證明（主要）方法：⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法。

　　（3）一元二次不等式的解法：借鑒圖像先看開口，在看判別式，在解根，在討論根的大小以及與定義域的關系。

　　二、考題再現

　　08年江蘇高考

　　8.直線 是曲線 的一條切線，則實數             。

　　14. 對于 總有 成立，則 =             。

　　20.若 ， ， 為常數，函數f (x)定義為：對每個給定的實數x，

　　（Ⅰ）求 對所有實數x成立的充要條件（用 表示）；

　　（Ⅱ）設 為兩實數，滿足 ，且 ∈ ,若 ，求證： 在區間 上的單調增區間的長度之和為 （閉區間 的長度定義為 ）．

　　09年江蘇高考

　　3．函數 的單調減區間為       .

　　9．在平面直角坐標系 中，點P在曲線 上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為      .

　　10.已知 ，函數 ，若實數 滿足 ，則 的大小關系為          .

　　20．設 為 實數，函數 .

　　(1)    若 ，求 的取值范圍；（2）求 的最小值；

　　（3）    設函數 ，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式 的解集.

　　10年江蘇高考

　　5、設函數f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函數，則實數a=___________ 。

　　8、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數，a1=16，則a1+a3+a5=________

　　11、已知函數 ,則滿足不等式 的x的范圍是___     _。

　　12、設實數x,y滿足3≤ ≤8，4≤ ≤9，則 的最大值是        。

　　14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記 ,則S的最小值是__    。

　　20、設 是定義在區間 上的函數，其導函數為 。如果存在實數 和函數 ，其中 對任意的 都有 >0，使得 ，則稱函數 具有性質 。

　　(1)設函數  ，其中 為實數。(i)求證：函數 具有性質 ； (ii)求函數 的單調區間。

　　(2)已知函數 具有性質 。給定 設 為實數， ， ，且 ，若| |<| |，求 的取值范圍。

　　11年江蘇高考

　　8、在平面直角坐標系 中，過坐標原點的一條直線與函數 的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________

　　12、在平面直角坐標系 中，已知點P是函數 的圖象上的動點，該圖象在P處的切線 交y軸于點M，過點P作 的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是_____________

　　11、已知實數 ，函數 ，若 ，則a的值為________

　　8、在平面直角坐標系 中，過坐標原點的一條直線與函數 的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________

　　19、已知a，b是實數，函數   和 是 的導函數，若 在區間I上恒成立，則稱 和 在區間I上單調性一致

　　（1）設 ，若函數 和 在區間 上單調性一致,求實數b的取值范圍；

　　（2）設 且 ，若函數 和 在以a， b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值。

　　12年江蘇高考

　　5．函數 的定義域為          ．

　　10．設 是定義在 上且周期為2的函數，在區間 上， 其中 ．

　　若 ，則 的值為             ．

　　13．已知函數 的值域為 ，若關于x的不等式 的解集為 ，則實數c的值為             ．

　　14．已知正數 滿足： 則 的取值范圍是       ．

　　18．若函數 在 處取得極大值或極小值，則稱 為函數 的極值點。

　　已知 是實數，1和 是函數 的兩個極值點．

　　（1）求 和 的值；   （2）設函數 的導函數 ，求 的極值點；

　　（3）設 ，其中 ，求函數 的零點個數．

　　13年江蘇高考

　　9．拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為 (包含三角形內部和邊界) ．若點 是區域 內的任意一點，則 的取值范圍是       ．

　　11．已知 是定義在 上的奇函數。當 時， ，則不等式  的解集用區間表示為          ．

　　13．在平面直角坐標系 中，設定點 ， 是函數 （ ）圖象上一動點，若點 之間的最短距離為 ，則滿足條件的實數 的所有值為         ．

　　20．（本小題滿分16分）設函數 ， ，其中 為實數．

　　（1）若 在 上是單調減函數，且 在 上有最小值，求 的取值范圍；

　　（2）若 在 上是單調增函數，試求 的零點個數，并證明你的結論．

　　14年江蘇高考

　　1 0．已知函數 ，若對任意 ，都有 成立，則實數m的取值范圍是       ．

　　11．在平面直角坐標系xOy中，若曲線 ( 為常數)過點 ，且該曲線在點P處的切線與直線 平行，則 的值是            ．

　　13．已知 是定義在R上且周期為3的函數，當 時， ．若函數 在區間 上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是            ．

　　19．(本小題滿分1 6分)已知函數 其中e是自然對數的底數．

　　（1）證明： 是 上的偶函數；

　　（2）若關于x的不等式 在 上恒成立，求實數m的取值范圍；

　　（3）已知正數a滿足：存在 ，使得 成立．試比較 與 的大小，并證明你的結論．

　　15年江蘇高考

　　7、不等式 的解集為________.

　　13、已知函數 ， ，則方程 實根的個數為          .

　　所以 ，所以直線AB方程為 或 .

　　17.（本小題滿分16分）

　　已知函數 .

　　（1）試討論 的單調性；

　　（2）若 （實數c是a與無關的常數），當函數 有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是 ，求c的值.

　　16年江蘇高考

　　5. 函數y= 的定義域是         .

　　11. 設  是定義在R上且周期為2的函數，在區間[ )上，  其中  若  ，則 的值是          .

　　19. （本小題滿分16分）

　　已知函數 .

　　（1）設 .①求方程 =2的根；

　　②若對任意 ,不等式 恒成立，求實數m的最大值；

　　（2）若 ，函數 有且只有1個零點，求ab的值.

　　三 、考題預測

　　1、已知集合 為函數 的定義域.，函數 的定義域為Q，

　　如果 ，則實數a的取值范圍為            。

　　2、已知函數 . 如果 ，則實數 等于_________。

　　3、已知函數f（x）=ax+ka-x，其中a＞0且a≠1，k為常數，若f（x）在R上既是奇函數，又是減函數，則a+k的取值范圍是               。

　　4、（1）已知函數f（x）=x2-m是定義在區間[-3-m，m2-m]上的奇函數，則f（m）=______________。

　　（2）冪函數y＝xa，當a取不同的正數時，在區間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲

　　線(如圖)．設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xα，y＝xβ

　　的圖象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝_________。

　　5、已知函數f（x）= 為奇函數，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤ 的解集為[﹣2，﹣1]∪[2，4]，則f（x）=_____________。