高三模擬文科數學試題之導數及其應用(5)

　　15.

　　（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

　　（2）m=0時，不合題意，m≠0時，根據二次函數的性質得到關于m的不等式組，解出即可．

　　本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及二次函數的性質、考查轉化思想，函數的零點問題，是一道中檔題．

　　16.

　　（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；

　　（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，結合函數的最小值，得到關于a的不等式，解出即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．

　　17.

　　（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；

　　（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

　　本題考查了函數的單調性，極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．

　　18. 解：f′（x）= ，

　　∵x＞0，∴解 得： ，

　　所以函數f（x）的單調減區間是（ ]．

　　故答案是（ ]．

　　先求f′（x），根據導數的符號和原函數單調性的關系，只要求f′（x）＜0的解即可求出原函數的單調減區間．

　　本題用的方法是求一個函數單調區間常用的方法，而容易出錯的是x＞0這個條件．

　　19.

　　（1）求出 ，分①當-m≥0，②當m＞0討論即可；

　　（2）對?m∈[0，2]，f（x）≤（k+1）x，即 ，

　　又x＞0，即m≤（k+1）x2-3x2-xlnx恒成立，（k+1）x2-3x2-xlnx≥2，可得 ．

　　令 ，利用導數求出最大值即可．

　　本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查了轉化思想，屬于中檔題

　　20.

　　（1）求導，由f'（1）=-8，求得a的值，分別求得切線方程，與原切線方程比較，即可求得a的值；

　　（2）求導，根據導數與函數單調性的關系，分類討論，即可求得函數f（x）（x＞0）的單調區間與極值；

　　（3）由（2）可知：根據函數的單調性，求得f（x）的極值，分別作出函數 與y=m的圖象，從圖象上可以看出當 時，兩個函數的圖象有三個不同的交點，即可求得m的取值范圍．

　　本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性區間及最值，考查方程解得個數，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于難題．

　　21.

　　（1）求出g'（x）=ex-a，由a≤0和a＞0分類討論，由此能求出結果．

　　（2）當x＞0時， 令 ，則 令φ（x）=ex（x-1）-x2+1（x＞0），則φ'（x）=x（ex-2），由此利用導數性質能求出實數a的取值范圍．

　　本題考查函數的單調性、實數的取值范圍、導數性質、構造法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．

　　22.

　　（Ⅰ）由題知f（x）的定義域為（-1，+∞），求出函數的導函數，可得當a=0時，f′（x）＞0在 上恒成立；當a≠0時，求出導函數的兩個零點，分a＞0和a＜0討論求得使函數f（x）在 上有單調遞增區間的a的范圍；

　　（Ⅱ）取a=1，可知在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，由此得到ln（1+x）＜x+x2在區間（0，+∞）上恒成立，

　　取x=n，n∈N*，則0＜ln（1+n）＜n+n2，得 = ，分別取n=1，2，3，…，n，利用累加法證明 ．

　　本題考查利用導數研究函數的單調性，訓練了利用導數證明函數不等式，體現了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，是壓軸題．

　　23.

　　（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間即可；

　　（Ⅱ）分離a，得到a=1+ ，令g（x）=1+ ，根據函數的單調性求出a的范圍即可；

　　（Ⅲ）整理得：f（x2）- ＜f（x1）- ，令F（x）=f（x）-x2=- x2+mx+mlnx，則F（x）在[1，2]遞減，根據函數的單調性求出m的范圍即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．

　　24.

　　（1）利用導數的幾何意義求出a，根據函數過（1，0）點，求出b，即可求出函數f（x）的解析式；

　　（2）求導數，分類討論，確定函數的單調性，即可求出函數f（x）在區間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；

　　（3）構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數a的取值范圍．

　　本題考查導數的工具作用，考查學生利用導數研究函數的單調性的知識．考查學生對方程、函數、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想，將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，屬于綜合題型．

　　25.

　　（1）求出f（x）的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；

　　（2）用x1表示x2，a，求出g（x1）-g（x2）的表達式，構造函數h（x）=（x- ）-（x+ ）lnx，x∈（0，e]，求出h（x）的最小值即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數的極值的意義，是一道綜合題．

　　26.

　　（1）將a=0代入f（x），求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，得到函數的單調區間，求出函數的極值即可；

　　（2）令g（x）=f（x）+ax2=（a+1）x2-2lnx-2ax，x∈（1，+∞），求出g（x）的導數，通過討論a的范圍，確定g（x）的單調性，求出函數的最值，從而判斷函數的零點即方程的實數根的個數．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．

　　27.

　　（Ⅰ）函數h（x）=f[g（x）]=3|x+a|-3 的圖象關于直線x=2對稱，則h（4-x）=h（x）?|x+a|=|4-x+a|恒成立?a=-2；

　　（Ⅱ）函數y=g[f（x）]=|3x+a|-3的零點個數，就是函數G（x）=|3x+a|與y=3的交點，

　　分①當0≤a＜3時；②當a≥3時；③-3≤a＜0時；④當a＜-3時，畫出圖象判斷個數．

　　本題考查了函數的零點，把零點個數轉化為兩函數交點個數是常用方法，屬于中檔題．

　　28.

　　（1）求出導數，結合已知條件求出f′（1）=0，即可求出a的值；

　　（2）由切點求出f（1）=2，即 ，由切線方程的斜率為-1，得f′（1）=-1，即a2-2a+1=0，可求出a，b的值，代入已知函數求導，可得x=0和x=2是y=f（x）的兩個極值點，計算即可得到y=f（x）在區間[-2，4]上的最大值為與最小值．

　　本題考查導數的綜合應用：求切線方程和求極值，考查運算能力，屬于中檔題．

　　29.

　　（1）把a=-1代入函數解析式，求導得到導函數的零點，求得原函數的最值，把f（x）= 轉化為b=xf（x），則b的最小值可求；

　　（2）求出F′（x）= ．設h（x）= ，可得h′（x）≥2-a．然后分a≤2和a＞2研究F（x）在區間（0，1]上是否為單調函數，從而求得a的取值范圍．

　　本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想方法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，難度較大．

　　30.

　　（1）根據題意可知f（t）=g（t），令h（x）=ex+sinx-x（x≥0），求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離．

　　（2）令?（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，等價于?（x）≥0恒成立，求出其導函數，可求出φ（x）的單調性，進而可求得a的取值范圍．

　　本題考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．

　　31.

　　（1）由題意可知：由函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，等價于g′（x）=xex-a-1在（0，1）上有且僅有一個變號零點，構造輔助函數，根據函數的單調性，即可求得a的范圍；

　　（2）由題意，利用分析法，由結論可得（x-1）（ex-1）-ax≥0在（0，+∞）恒成立，設g（x）=（x-1）（ex-1）-ax，x∈[0，+∞），利用導數研究函數g（x）單調性，則結論易得．

　　本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性及極值，考查分析法證明不等式成立，考查轉化思想，屬于中檔題．

　　32.

　　（1）當 時，f'（x）=ex-1+xex-x=（ex-1）（x+1），由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區間．

　　（2）若f（x）在（-1，0）內無極值，則f（x）在（-1，0）上單調，又f'（x）=（x+1）ex-2ax-1，由此利用分類討論思想及導數的性質能求出a的取值范圍．

　　（3）用數學歸納法能證明 ．

　　本題考查導數的幾何意義、導數性質、構造法、函數性質、不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題．

　　33.

　　（1）求導，分類討論，根據導數與函數單調性的關系，即可求得f（x）的單調性區間；

　　（2）由題意可知：C=90°，則 ，即y0=f（x0）＜0，然后得到關于參數a的方程 ，則 ，則（a-1）（t-1）=2．即可求得at-（a+t）=1．

　　本題考查導數的綜合應用，考查利用導數判斷函數的單調性，考查分類討論的思想，轉化思想，方程思想，做題要認真仔細，方法要明，過程要嚴謹，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于難題．

　　34.

　　（1）存在x∈R，使f（x）＜bog（x），即存在x∈R，x2-bx+b＜0，則△＞0，即b2-4b＞0，

　　即可得到b的取值范圍．

　　（2）由題意可知x2-mx+1≥0在區間[2，5]上恒成立，

　　即 在區間[2，5]上恒成立，求出 得最小值即可，

　　本題考查了二次函數的性質，分離參數法求參數的范圍，屬于中檔題．

　　35.

　　（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

　　（2）問題轉化為a≤- 在區間[1，+∞）恒成立，令h（x）=- ，根據函數的單調性求出a的范圍即可；

　　（3）由題意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2-bx+1=0的兩個根，記g（x）=2x2-bx+1，根據函數的單調性證明即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查轉化思想，是一道綜合題．

　　36.

　　（1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1）的值，求出切線方程即可；

　　（2）問題轉化為f（x1）min≥f′（x2）min，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出f（x）的最小值以及f′（x）的最小值，得到關于a的不等式組，解出即可．

　　本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．

　　37.

　　（1）求出函數的導數，根據f′（1）=0，求出a的值，檢驗即可；

　　（2）問題轉化為（x-1）ex+a≥0在區間[2，4]上恒成立，記g（x）=（x-1）ex+a，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．

　　38.

　　（1）f'（x）=2x（x-a）+x2-4=3x2-2ax-4．由f'（-1）=0，解得 ，

　　即 R．通過判定導數的符號確定單調區間．

　　（2）求出極值、端點值，比較大小，即可求出最值．

　　本題考查了利用導數求函數單調區間、函數最值，屬于中檔題．

　　39.

　　（1）求出函數的導數，根據不等式和方程的根的關系求出a的值，求出函數的解析式即可；

　　（2）求出函數的導數，計算g′（-1）和g（-1）的值，求出切線方程即可；

　　（3）問題轉化為 對x∈（0，+∞）上恒成立，設 ，根據函數的單調性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍，再求出m的范圍即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．

　　40.

　　（Ⅰ）由 ，得 ，化簡得a，b，利用導數求極值．

　　（Ⅱ）f（x）＞x2+3在x∈[1，m]上恒成立，等價于e-x-x2+6x-3＞0在x∈[1，m]上恒成立．設g（x）=e-x-x2+6x-3．求出其導函數，討論導函數的符號，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出m的范圍．

　　本題考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．

　　41.

　　（1）求導，由題意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；

　　（2）由題意可知：4lnx≤m（3x- -2）恒成立，構造輔助函數，求導，分類討論即可求出m的取值范圍

　　本題考查導數的綜合應用，導數的幾何意義，考查導數與函數的單調性和最值的關系，考查計算能力，屬于中檔題．

　　42.

　　（1）根據導數的幾何意義，求得切線的斜率，利用點斜式方程，即可求得函數f（x）在x=1處的切線方程；

　　（2）求導，分類討論，根據導數與函數單調性及極值的關系，分別求得函數f（x）極值點的個數；

　　（3）方法一：由（2）可知：分類討論，根據函數的單調性，求得f（x）的最值，即可求得a的取值范圍；

　　方法二：設g（x）=2ax2-3ax+1，根據二次函數的性質，分類討論，即可求得實數a的取值范圍．

　　本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性及極值的關系，考查二次函數的性質，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于難題．

　　43.

　　（1）求導，分類討論，根據導數與函數單調性的關系，即可求得y=f（x）的單調區間；

　　（2）由（1）可知，不妨設1＜x1＜x2，代入ex-ax+a=0，作差，要證x1+x2＜2lna，即證 ，即證 ，令 ，則（*）式化為  et-e-t＞2t，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性即可求得g（t）＞g（0）=0．則x1+x2＜2lna．

　　本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性區間及最值，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．

　　44.

　　（1）求導，根據導數與函數單調性的關系，即可求得函數的單調區間；

　　（2）求導，構造輔助函數，根據二次函數的性質及韋達定理，求得直線AB斜率，由題意函數存在零點即 有解，兩根均為正且x1x2=1，設 ，求導，q（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，q（x）＞q（1）=0，則函數y=h（m）+2m-2沒有零點．

　　本題考查導數的綜合應用，導數與函數單調性及極值的關系，考查導數的幾何意義，利用導數求函數切線方程，函數零點的判斷，考查轉化思想，屬于中檔題．

　　45.

　　（Ⅰ）利用導數的運算法則即可得出f′（x），并對a分類討論即可；

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，結合根的存在性原理，可以判斷存在a0∈（2，3），h（a0）=0，當a＞a0，h（a）＞0；

　　本題考查了利用導數求函數的單調區間以及根的存在性原理的運用．

　　46.

　　（1）求出f′（x）=x2+c；然后根據f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，求出f′（0）=c=-1，進而求出函數y=f（x）的解析式即可；

　　（2）分別求出g（x）、g′（x），然后分兩種情況：①當0＜x＜ 和②當x≥ 時，討論求出g（x）的極值即可．

　　此題主要考查了利用導數求函數的極值以及切線方程的求解問題，考查了分類討論思想的應用，屬于中檔題．

　　47.

　　（1）根據題意可知f（t）=g（t），令h（x）=ex+sinx-x（x≥0），求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離．

　　（2）令?（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，等價于?（x）≥0恒成立，求出其導函數，可求出φ（x）的單調性，進而可求得a的取值范圍．

　　本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查了轉化思想、分類討論思想，屬于中檔題

　　48.

　　（1）先求函數f（x）的定義域，再求出函數的導數，從而討論確定函數的單調性；

　　（2）存在x1，x2∈[- ，3]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立可化為[g（x1）-g（x2）]max≥M，從而化為求g（x）的最值，從而求解．

　　（3）化簡可知g（x）的最大值是1，從而可得只需當x∈[ ，2]時，xf（x）= +xlnx≥1恒成立，可化為a≥x-x2lnx恒成立，從而轉化為最值問題

　　本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，考查了構造函數的應用，屬于難題．

　　49.

　　（1）求出函數的導數，根據f′（1）的值，求出a的值；

　　（2）根據x1，x2是方程f′（x）=0的根，得到關于a的不等式組，求出a的范圍，求出f（x1）+f（x2）的表達式，設h（a）=- a2+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），根據函數的單調性證明即可．

　　本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．

　　50.

　　（Ⅰ）求導，由題意可知f′（1）=-2，代入即可求得實數a的值；

　　（Ⅱ）由題意可知，x∈[0，2]，h（x）≥ ，則a≥ ，求導，根據函數的單調性與導數的關系，即可求得實數a的取值范圍．，

　　本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性的關系，考查導數的幾何意義，考查分類討論思想，屬于中檔題．

　　51.

　　（1）把a=-2代入函數解析式，求導后由導函數在定義域內不同區間內的符號得到原函數的單調期間，找到極小值點，求出極小值，也就是最小值；

　　（2）求出原函數的導函數f′（x）= ，然后分a≥-1、a≤-e、-e＜a＜-1借助于導數分析原函數在[1，e]上的單調性，由單調性求得最小值，由最小值為 求得a的值．

　　本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，是中檔題．

　　52.

　　（1）求出函數的導數，利用函數的極值，列出方程組求解a，b即可．

　　（2）利用函數的導數，判斷函數的單調性求出函數的最大值，推出c，然后求解函數的最小值即可．

　　本題考查函數的極值的求法函數的單調性以及函數的最值的求法，考查計算能力．

　　53.

　　（1）求出導數f′（x），分情況討論：①a=0時，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的單調區間；②a≠0時，解方程f′（x）=0得x=1或x= ，按照1與 的大小討論，根據f′（x）的符號即可求得其單調區間；

　　（2）當a= 時，借助（1）問單調性易求得M，存在x∈[1，2]，使g（x）≥- ，等價于g（x）max≥- ，由二次函數的性質可得不等式組，解出即可．

　　本題考查利用導數研究函數的單調性、在閉區間上的最值等知識，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，把存在性問題轉化為最值問題是解決（2）問的關鍵．

　　54.

　　利用切線與直線y=-2x-4垂直，由斜率之積為-1，得到切線的斜率，也就是曲線在點M處的導數，通過計算，得出點M的坐標，再利用點斜式求出切線方程即可．

　　本題主要考查了導數的幾何意義，以及兩條直線垂直，其斜率的關系，同時考查了運算求解的能力，屬于基本知識的考查．

　　55.

　　（1）利用二次函數以及導數的關系式得到解析式的系數；求導解析式；

　　（2）利用定積分表示圖象面積，然后計算定積分．

　　本題考查了二次函數解析式的求法以及定積分的運用；利用定積分的幾何意義表示圖象的面積是關鍵．

　　56.

　　（Ⅰ）求出函數f（x）的定義域，把a=1代入函數解析式，求出導函數，分別由導函數大于0和小于0求出x的取值范圍得函數的增區間與減區間；

　　（Ⅱ）由已知得g（x）=x- ，x∈（0，+∞），求出導函數，結合g（x）有兩個極值點x1，x2，得x2+ax+1=0有兩個根x1，x2，并有 ，可得 ，得到x1∈（0，1），求出g（x1）-g（x2），構造函數 ，x∈（0，1），利用導數求得h（x）的范圍可得t的取值范圍．

　　本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數的最值，考查恒成立問題的求解方法，是中檔題．

　　57.

　　（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；

　　（2）問題轉化為2lna≤lna+1，求出a的范圍即可．

　　本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，考查轉化思想，是一道中檔題．

　　58.

　　（1）求得函數的導數及定義域，根據導數與函數單調性及極值的關系，即可求得求得F（x）的極小值，即函數F（x）的最小值；

　　（2）由（1）可知：f（x）與g（x）在x= 處有公共點（ ， ），則存在分界線，設分界函數，求導，根據二次函數的性質，即可求得k的值，作差，再根據函數的單調性可得：g（x）≤ x- 對x∈（0，+∞）恒成立．

　　本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調區間及極值，考查不等式恒成立，考查轉化思想，屬于中檔題．

　　59.

　　（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；

　　（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

　　本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．

　　60.

　　（1）求出函數的導數，求出切線方程，得到關于a的方程，解出即可；

　　（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

　　本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．