如何學好高中數學競賽

　　一、競賽簡介

　　1.全國高中數學聯賽

　　全國高中數學聯賽旨在選拔在數學方面有突出特長的同學，讓他們進入全國知名高等學府，而且選拔成績比較優異的同學進入更高級別的競賽，直至國際數學奧林匹克（IMO）。并且通過競賽的方式，培養中學生對于數學的興趣，讓學生們愛好數學，學習數學，激發學生們的鉆研精神，獨立思考精神以及合作精神。

　　2.中國數學奧林匹克（CMO）

　　冬令營邀請各省、自治區、直轄市全國高中數學聯賽中的優勝者，以及香港、澳門、俄羅斯、新加坡等代表隊參加，人數200人左右(現擴大為300人左右)，分配原則是每省市區至少三人，然后設立分數線擇優選取。冬令營為期5天，第一天為開幕式，第二、第三天考試，第四天學術報告或參觀游覽，第五天閉幕式，宣布考試成績和頒獎。

　　CMO考試完全模擬IMO進行，每天3道題，限四個半小時完成。每題21分（為IMO試題的3倍，為符合中國人的認知習慣），6個題滿分為126分。題目難度較國際數學奧林匹克為高，技術性極強。頒獎與IMO類似，設立一、二、三等獎，分數最高的約前30名選手將組成參加當年國際數學奧林匹克（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的中國國家集訓隊。 獲獎選手都可以取得北京大學、清華大學、復旦大學、南京大學、中國科技大學、浙江大學、上海交通大學等全國一流的名牌大學的錄取資格。

　　3.國際數學奧林匹克（IMO）

　　國際數學奧林匹克(International Mathematical Olympiad，簡稱IMO)是世界上規模和影響最大的中學生數學學科競賽活動。

　　正如專家們指出：IMO的重大意義之一是促進創造性的思維訓練，對于科學技術迅速發展的今天，這種訓練尤為重要。數學不僅要教會學生運算技巧，更重要的是培養學生有嚴密的思維邏輯，有靈活的分析和解決問題的方法。[5]

　　國際數學奧林匹克競賽對于促進中學數學教育的改革，激發青少年對數學的學習興趣，選拔優秀的數學人才等都起到了越來越大的作用，受到人們的普遍重視。數學奧林匹克傳統將永遠發揚光大。

　　二、數學競賽的意義

　　與其他學科競賽一樣，學習數學競賽除了能在升入高校方面獲得保送或降分的優惠外，還能培養學生的自主學習能力，這對學生的整個大學學習乃至今后的學術研究或是社會工作是尤為重要的。

　　此外數學競賽學到一定深度后就會發現，數學競賽不再是由知識結構和解題方法組成，而是對思維能力的培養和運用，而思維能力的價值是遠超過數學本身的，這將會對學生以后對問題的思考與對事物的判斷等產生不可估量的影響。

　　三、關于學員選擇

　　不是所有學生都可以學數學競賽，要想學習數學競賽必須同時具備以前條件：

　　1、高考數學可以輕松應對；

　　2、對數學競賽有興趣，自發選擇學習數學競賽；

　　3、具備自主學習能力；

　　4、高考涉及的其他學科不存在太大問題，或個人的競賽前景遠優于高考前景。

　　四、學習數學競賽的方法

　　（一）全國聯賽一試

　　此模塊立足于高考又高于高考，題目難時間短，要想攻克此模塊需在鞏固高考基礎的前提下多做難題并分析總結，輔之以足夠的模擬訓練。

　　（二）全國聯賽二試、CMO、IMO

　　全國聯賽二試、CMO、IMO都是依據中國數學會普及工作委員會于2006年8月制定競賽大綱命題的，這也是數學競賽的核心部分。

　　1. 思維啟迪

　　數學競賽與高考數學的差異不只是在命題大綱上，更表現在思維方式上。如果說一個在數學方面不是明顯太弱的學生可以通過大量的難題訓練來讓自己的高考數學成績提高的話，那么在數學競賽上這是完全行不通的。從高考數學到競賽數學，整個思維方式和學習方法的轉變，如果沒有一位有能力的教練的幫助，必然事倍功半。很多競賽高手在后期的能力都是超越當初的入門教練的，但是教練在入門時提供的如果思考如果分析如果解題如何總結的方法卻尤為重要。

　　2. 專題學習與思維養成

　　這部分一共分為代數、平面幾何、數論、組合四個模塊，學生應當對四塊作專題學習，并在學習過程中熟悉并運用競賽思維。整個學習過程最后可以有教練引導，但學生的自主學習意愿與自主學習能力尤為重要。

　　3. 專題分析與訓練

　　競賽中有很多重要的題型或是模型最好是由教練來點撥，輔之以足夠的訓練可以收獲良好的效果。

　　4. 賽前模擬

　　賽前模擬的意義不言自明。

　　五、全國高中數學聯賽、CMO、IMO大綱

　　全國高中數學聯賽（一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》。

　　全國高中數學聯賽（二試）在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外的內容，所增加內容是：

　　1．平面幾何

　　幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

　　三角形旁心、費馬點、歐拉線；

　　幾何不等式；

　　幾何極值問題；

　　幾何中的變換：對稱、平移、旋轉；

　　圓的冪和根軸：

　　面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法。

　　2．代數

　　周期函數，帶絕對值的函數；

　　三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數；

　　遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式；

　　第二數學歸納法；

　　平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數及其應用；

　　復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；

　　多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*；

　　n次多項式根的個數，根與系數的關系，實系數多項式虛根成對定理；

　　函數迭代，求n次迭代*，簡單的函數方程*。

　　3．初等數論

　　同余，歐幾里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程組，高斯函數[x]，費馬小定理，格點及其性質，無窮遞降法*，歐拉定理*，孫子定理*。

　　4．組合問題

　　圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恒等式；

　　組合計數，組合幾何；

　　抽屜原理；

　　容斥原理；

　　極端原理；

　　圖論問題；

　　集合的劃分；

　　覆蓋；

　　平面凸集、凸包及應用*。

　　(有*號的內容加試中暫不考，但在CMO、IMO中可能考。)