第三屆北京高中數學知識應用競賽初賽

第三屆北京高中數學知識應用競賽初賽

試題     　　1.根據國家版權局《書籍稿酬暫行規定》，書籍稿酬由基本稿酬和印數稿酬組成。 　　基本稿酬的標準為：（1）著作稿酬每千字10至30元，確有學術價值的，可適當提高，但每千字不超過40元；（2）詞書稿有兩種計酬方法：其一是按一般著作稿標準另加15%至20%計算（詞條書目）；其二是按每千字20元至30元計算，另增加20%至30%的基本稿酬（百科全書詞條）。 　　印數稿酬的標準為：（1）一般書籍，印數在一萬冊以內的，以一萬冊計算付基本稿酬的8%。印數超過一萬冊的，其超過部分每千冊付基本稿酬的0.8%。（2）確有學術價值而印數較少的專著，印數在一萬冊以內的，以一萬冊計算付基本稿酬的30%，印數超過一萬冊的，計算方法同（1）。 　　根據以上內容，解答下列問題。 　　（1） 若印x 千冊，試寫出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函數關系式； 　　（2） 若王教授出版了一本25.4萬字的書，印數1.8萬冊，試計算他可獲得的最高稿酬和最低稿酬。 　　2． 小童的父親要到美國訪問，受人之托希望多帶點東西。中國民航的《國際旅客須知》中有關規定："計件免費行李額"中規定"適用中美、中加國際航線上的行李運輸……。經濟和旅游折扣票價，免費交運的行李數為兩件，每件箱體三邊之和不超過62英寸（158厘米），但兩件之和不得超過107英寸（273厘米），每件最大重量不得超過32公斤。"試問這兩個箱子的長、寬、高各為多少可達最大體積？ 　　請到市場上看看，商店出售的行李箱的尺寸與你計算所得結果是否近似？為什么？ 　　3． 今年年初由中國建設銀行北京市分行印發的《個人住房貸款簡介》的小冊子中介紹了有關個人住房貸款的有關問題。其中指明貸款額最高為擬購買住房費用總額的70%；貸款期限最長為20年。個人住房貸款利率如附表1所示。借款人在借款期內每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。附表2列出了不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負擔總和。試給出公式說明附表2中后三列數是如何算出來的。 　　近年來國務院批準，中國人民銀行決定從1999年9月21日起，延長個人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮居民購房。各商業銀行個人住房貸款的最長期限由現行的20年延長到30年。每筆貸款年限由商業銀行依據借款個人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協商確定。個人住房款年利率最高水平降為5.88%。并根據貸款期限劃分為兩個檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31，5年以上為年利率5.88%。 　　請你根據新規定計算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負擔總和，并與原附表2中的同期貸款的負擔情況比較，住房貸款的負擔各降低了多少。 　　 附表1 中國建設銀行北京分行個人住房貸款利率表   貸款期 月利率(‰) 年利率（%） 1年（含）以下 5.10 6.12 1 ~ 3（含）年 5.325 6.39 3 ~ 5（含）年 5.55 6.66 5 ~ 10（含）年 6.00 7.20 10 ~ 20（含）年 6.30 7.56 　　 　　 附表2 中國建設銀行北京分行個人住房貸款1~20年月均還款金額表 　　　　（借款額為壹萬元）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　單位：元 貸款期限（年） 年利率（%） 還款總額 利息負擔總和 月均還款額 1 6.12 10612.00 612.00 一次還本付息 ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ 5 6.66 11784.60 1784.60 196.41 ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ 20 7.56 19423.20 9423.20 80.93   　　（本表自1998年12月7日起執行） 　　4． 某化工廠從今年一月起，若不改善生產環境，按現狀生產，每月收入為70萬元，同時將受到環保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后逐月遞增2萬元。如果從今年一月起投資500萬元增加回收凈化設備（改造設備時間不計），一方面可以改善環境，另一方面也可以大大降低原料成本。據測算投產后的前5個月中的累計凈收入是生產時間 n（以月為單位）的二次函數，生產前1、前2、前3個月的累計收入分別可達101萬元、204萬元和309萬元，以后穩定在第5個月的水平。同時該廠不但不受罰，而且還將得到環保部門一次性100萬元的獎勵。問經過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入。 　　5． 據世界人口組織公布，地球上的人口在公元元年為2.5億，1600年為5億，1830年為10億，1930年為20億，1960年為30億，1974年為40億，1987年為50億，到1999年底，地球上的人口數達到了60億。請你根據20世紀人口增長規律推測，到哪年世界人口將達到100億？到2100年地球上將會有多少人口？ 　　6． 國慶慶典活動的中心廣場有數萬名學生手持圓花組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺120米，方陣縱列95人，每列長度192米，問第一、二排間距多大能達到滿意的觀禮效果？ 　　7． 在某1000個人中有10個人患有一種病，現要通過驗血把這10個病人查出來，若采用逐個人化驗的方法需化驗999次，（這里所需化驗次數是指在最壞情況下化驗次數，如果碰巧，可能首先化驗的10個人全是病人，10次化驗就夠了。下面討論的化驗次數均指最壞情況下的化驗次數）。 　　為了減少化驗次數，人們采用分組化驗的辦法，即把幾個人的血樣混在一起，先化驗一次，若化驗合格，則這幾個人全部正常，若混合血樣不合格，說明這幾個人中有病人，再對它們重新化驗（逐個化驗，或再分成小組化驗）。 　　試給出一種分組化驗方法使其化驗次數盡可能地小，不超過100次。 　　 參考解答 1.解　(1) 　　 　　 　　 　　　　 　　（2）此時x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ，因此此書25.4萬字（254千字），所以最高稿酬為 65.472×254=16629.888≈16629.89（元），最低稿酬為11.44×254=2095.76 （元） 　　2．解 設長、寬、高分別為a,b,c 顯然a>0,b>0,c>0. 若a+b+c 一定（≤158）, 根據a+b+c≥ ,當且僅當a=b=c 時等號成立，因此箱子為正方體時體積最大。 　　設兩個正方體箱子的邊長分別為a,b,(a>0,b>0). 由條件知 3(a+b)≤273,，為求最大取等號，故得 　　　　　 　　　　　　　a+b=91 　　設 代入b=91-a ，則 顯然，當 時， 有最小值，且 　　 　　根據題意及上述，要在 且a+b=91 ，即 ， 的條件下求f(a) 的最大值，而 ,于是得 　　兩個箱子的邊長分別為　 厘米和　 厘米時，其體積之和為最大。即為： 　　 　　市場調查思考： 　　① 商店出售的箱子三邊長與計算所得誤差很大，原因： 　　（1） 正方體箱子不易攜帶。 　　（2） 正方體箱子容量大，但易超重。 　　② 很多貨運箱的形狀與手提行李箱相比，近似于正方體，因為貨運箱可更多地考慮其容積問題。 　　3．解 設貸款額（本金）為A（元），貨款期限為n（月），月利率為 ，月均還款額為B，令 　　　為第k 個月末還款后的本利金額，則 　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　 　　　　　 　　　　　　 根據題意，當k=n 時， 　　,于是 　　 　　例如貸款期5年時， 　　由 　　　　元，得 　　 　　還款總額 60B=11784.60，利息負擔總額60B-A=1784.60 ，得到附表2上相應的值。 　　降低貨款利率后， 　　 　　月均還款 　　 　　總還款 60B=11408.4，總利息60B-A=1408.4 ，與原附表2中的同期貨款的負提相比，每月少交6.27 元。一共少負擔376.2 元。 　　對于n>60（10年），　　　　, 同理可得 　　20年，月均還款69.24,總還款16617.6,總利息6617.6,與原來比，每月省11.69元，共省2805.6元。 　　4．解 設不改造設備，按原條件生產，n 個月累計收入為a(n)，改造設備后生產，n個月累計收入為b(n)。由已知條件a(n)=70n，且可設　　于是 　　　　 101=b(1)=a+b+c 　　　　 204=b(2)=4a+2b+c 　　　　 309=b(3)=9a+3b+c 　　解此方程組，得到a=1, b=100, c=0 于是 　　　　 　　　　 　　經過簡單計算可以發現，5個月內投資不能見效。這是因為 　　　　 b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11], 　　令 　b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] ，　　　　(n>5), 　　即　　　　, 　化簡得 　　　　　　 　　當時 　　　　　　 　　當時 　　　　　　 　　所以，經過9個月投資才可見效。 　　5．解 題目中的數據均為大致時間，粗略估計的量，帶有較多的誤差。因此尋找人口增長規律時不需要，也不應該過分強調規律與數據完全吻合。數據中20世紀以前的人口資料更加粗略，況且人口的預報準確程度主要受到20世紀人口增長規律的影響，因而組建預報模型時，不必要考慮20世紀以前的數據資料，在20世紀人口增長速度是逐漸變快的，因此用直線變化（勻速增長）建模做預報是不恰當的；做為人口增長的模型，一般可以使用指數關系　　 ，其中N(t) 為t 時人口數，a,r 為參數。 　　將 式取對數可得 它是關于t 的線性模型，這里 ln為以e底的對數。利用1930~1999年的數據可以得到lna=-28.33,r=0.0162, 模型為　　　　　　　　　(億)　(1930≤t≤1999) 　　模型的擬合效果為 （人口單位：億） 　　年　代　　1930 　　1960　　1974　　1987　　1999 　　人口數　　20　　　30　　　40　　　50　　　60 　　擬合數　　19.49　　31.70　39.78　49.11　56.61 擬合效果較好，可用于預報。 　　令N(t)=100 ，可求出t=2030.84 ，故可知如果照此規律大約在2031年世界人口將達到100億，而于2100年世界人口將達到307億。 　　6．解 下面給出一個簡單的解法，但它是較粗糙的，不過也實用。 　　所謂滿意，可以認為從觀禮位置看到的縱列上每個花的部分是一樣的。 　　　　 　　設觀禮者居高a 米，從觀禮位置看到的縱列上每個花的部分高度為b 米。 　　依題意，每列從第一個人到最后一個人（第95人）有94個間空，列長192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。 　　為簡單起見，不妨設位于192米長的隊列中點前后的兩人間隔是2米，則 　　　　　　 　　設第一、二排間距為 x米，則 　　　　　　 　　于是， 　　（米）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　7．解　我們給出如下的方法： 　　從1000人中任取64人，把他們的血樣混合化驗（一般地，n 個人中有k 個病人，令s 使，則從n 個人中任取　 個人一組，當n=1000 ，k=10 時， 　　若這64人混合血樣合格（化驗是陰性），則這64個人正常，可排除，無需再化驗，再從剩下未化驗的人中任取64個人，混合血樣化驗。 　　若這64人混合血樣不合格（化驗呈陽性），說明這64人中有病人。把這64個人，分為兩組，每組32人。 　　任取一組的混合血化驗，即可確定有病人的一組。（即只需化驗一次，若化驗的這組血樣成陰性，則病人在另一組。若化驗的這組血樣成陽性，這組有病人，但此時，另一組也可能有病人）。作為最壞的可能情形，我們無法保證另一組的32人中沒有病人，故選定有病人的一組后，把另一組人退回到未化驗的人群中去。 　　把有病人的這組32人，再分為兩組，每組16人，重復上述過程。即化驗一次，確定有病人的一組，把另一組退回到未化驗的人群中。 　　依次下去，直到找到一個病人為止。至此一共化驗了7次。 　　再從未化驗的人中任取64人重復上述過程。 　　總之，對每次64人混合血化驗成陽性的，通過7次化驗可找到1個病人，由于共有10個病人，因此，這樣的情形，化驗次數不超過7×10=70 次。對每次64人混合血化驗成陰性的，由于1000=15×64+40 ，化驗次數不超過15次。 　　故總的化驗次數不超過70+15=85次。