競賽專題講座－平面幾何證明

【競賽知識點撥】

1． 線段或角相等的證明

（1）　　　 利用全等△或相似多邊形；

（2）　　　 利用等腰△；

（3）　　　 利用平行四邊形；

（4）　　　 利用等量代換；

（5）　　　 利用平行線的性質或利用比例關系

（6）　　　 利用圓中的等量關系等。

2． 線段或角的和差倍分的證明

（1）　　　 轉化為相等問題。如要證明a=b±c，可以先作出線段p=b±c，再去證明a=p，即所謂“截長補短”，角的問題仿此進行。

（2）　　　 直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。

3． 兩線平行與垂直的證明

（1）　　　 利用兩線平行與垂直的判定定理。

（2）　　　 利用平行四邊形的性質可證明平行；利用等腰△的“三線合一”可證明垂直。

（3）　　　 利用比例關系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。

【競賽例題剖析】

【例1】從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，連結BE交CD于F。求證：BE平分CD。

【分析1】構造兩個全等△。

連結ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

←

注：連結OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點共圓亦可。

【例2】△ABC內接于⊙O，P是弧 AB上的一點，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。

【分析】只需證， PM·PN=MS·NT。

（∠1=∠2，∠3=∠4）→△APM∽△PBN

→→PM·PN=AM·BN

（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA

→→MS·NT=AM·BN

【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O₁和O₂的一個交點，兩外公切線P₁P₂、Q₁Q₂分別切兩圓于P₁、P₂、Q₁、Q₂，M₁、M₂分別為P₁Q₁、P₂Q₂的中點。求證：∠O₁AO₂=∠M₁AM₂。

【分析】設B為兩圓的另一交點，連結并延長BA交P₁P₂于C，交O₁O₂于M，則C為P₁P₂的中點，且P₁M₁∥CM∥P₂M₂，故CM為M₁M₂的中垂線。

在O₁M上截取MO₃=MO₂，則∠M₁AO₃=∠M₂AO₂。

故只需證∠O₁AM₁=∠O₃AM₁，即證。

由△P₁O₁M₁∽P₂O₂M₂，M₁O₃=M₂O₂，O₁P₁=O₁A，O₂P₂=O₂A可得。

【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

← 在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA

← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC

←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

方法2、延長CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG

← 連結DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG

← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

【例5】∠ABC的頂點B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過BA與圓的交點K引∠ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。

求證：線段PM為圓心到∠ABC平分線距離的2倍。

【分析】若角平分線過O，則P、M重合，PM=0，結論顯然成立。

若角平分線不過O，則延長DO至D‘，使OD’=OD，則只需證DD‘=PM。連結D’P、DM，則只需證DMPD‘為平行四邊形。

過O作m⊥PK，則DD’,KP，∴∠D‘PK=∠DKP

BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL為MK的中垂線→∠DKB=∠DMK

∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM，

∴DMPD‘為平行四邊形。

【例6】在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH⊥AP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB。

【分析】方法1、結合中線和角平分線的性質，考慮用比例證明平行。

倍長中線：延長AM至M’，使AM=MA‘，連結BA’，如圖6-1。

PQ∥AB←←←

←

∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

方法2、結合角平分線和BH⊥AH聯想對稱知識。

延長BH交AC的延長線于B’，如圖6-2。則H為BB‘的中點，因為M為BC的中點，連結HM，則HM∥B^/C。延長HM交AB于O，則O為AB的中點。延長MO至M’，使OM‘=OM，連結M’A、M‘B，則AM’BM是平行四邊形，

∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求證：MQ∥NP。（95年全國聯賽二試3）

【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，

結合∠A=∠C知，只需證△AMQ∽△CPN←，AM·CN=AQ·CP。

連結AC、BD，其交點為內切圓心O。設MN與⊙O切于K，連結OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則

∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α

∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是，

∴AM·CN=AO·CO

同理，AQ·CP=AO·CO。

【例8】ABCD是圓內接四邊形，其對角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KP⊥AB。

【分析】延長KP交AB于L，則只需證∠PAL+∠APL=90°，

即只需證∠PDC+∠KPC=90°，只需證∠PDC=∠PKF，

因為P、F、K、E四點共圓，故只需證∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。

←←←△DME∽△CNF

【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點M。求證：AM⊥BC。

【分析】連結BE、CD交于H，則H為垂心，故AH⊥BC。（同一法）

設AH⊥BC于O，DG、AH交于M₁，EF、AH交于M₂。下面證M₁、M₂重合。

OM₁∥DF→→OM₁=。

OM₂∥EG→→OM₂=。

只需證OG·DF=EG·OF，即←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。