三大核心領域之幾何學范疇

1、初等幾何

　　在希臘語中，“幾何學”是由“地”與“測量”合并而來的，本來有測量土地的含義，意譯就是“測地術”。“幾何學”這個名詞，系我國明代數學家根據讀音譯出的，沿用至今。

　　現在的初等幾何主要是指歐幾里得幾何，它是討論圖形(點、線、面、角、圓等)在運動下的不變性質的科學。
 
    例如，歐氏幾何中的兩點之間的距離，兩條直線相交的交角大小，半徑是r的某一圓的面積等都是一些運動不變量。

　　初等幾何作為一門課程來講，安排在初等代數之后；然而在歷史上，幾何學的發展曾優先于代數學，它主要被認為是古希臘人的貢獻。

　　幾何學舍棄了物質所有的其它性質，只保留了空間形式和關系作為自己研究的對象，因此它是抽象的。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結論導出另一些新結論。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學的代表作，便是公元前三世紀歐幾里得的《原本》，它從定義與公理出發，演繹出各種幾何定理。

　　現在中學《平面三角》中關于三角函數的理論是15世紀才發展完善起來的，但是它的一些最基本的概念，卻早在古代研究直角三角形時便己形成。因此，可把三角學劃在初等幾何這一標題下。

　　古代埃及、巴比倫、中國、希臘都研究過有關球面三角的知識。公元前2世紀，希帕恰斯制作了弦表，可以說是三角的創始人。后來印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿爾?巴塔尼用計算sinθ值的方法來解方程，他還與阿布爾?沃法共同導出了正切、余切、正割、余割的概念；賴蒂庫斯作了較精確的正弦表，并把三角函數與圓弧聯系起來。

　　由于直角三角形是最簡單的直線形，又具有很重要的實用價值，所以各文明古國都極重視它的研究。我國《周髀算經》一開始就記載了周朝初年(約公元前1100年左右)的周公與學者商高的對話，其中就談到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；還記載了在周公之后的陳子，曾用勾股定理和相似圖形的比例關系，推算過地球與太陽的距離和太陽的直徑，同時為勾股定理作的圖注達幾十種之多。在國外，傳統稱勾股定理為畢達哥拉斯定理，認為它的第一個一致性的證明源于畢氏學派(公元前6世紀)，雖然巴比倫人在此以前1000多年就發現了這個定理。到現在人們對勾股定理已經至少提供了370種證明。

　　19世紀以來，人們對于關于三角形和圓的初等綜合幾何，又進行了深入的研究。至今這一研究領域仍然沒有到頭，不少資料已引申到四面體及伴隨的點、線、面、球。

　　2、射影幾何

　　射影幾何學是一門討論在把點射影到直線或平面上的時候，圖形的不變性質的一門幾何學。幻燈片上的點、線，經過幻燈機的照射投影，在銀幕上的圖畫中都有相對應的點線，這樣一組圖形經過有限次透視以后，變成另一組圖形，這在數學上就叫做射影對應。射影幾何學在航空、攝影和測量等方面都有廣泛的應用。

　　射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開辟的。迪沙格發表了―本關于圓維曲線的很有獨創性的小冊子，從開普勒的連續性原理開始，導出了許多關于對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理，這些課題是今天學習射影幾何這門課程的人所熟悉的。年僅16歲的帕斯卡得出了一些新的、深奧的定理，并于9年后寫了一份內容很豐富的手稿。18世紀后期，蒙日提出了二維平面上的適當投影表達三維對象的方法，因而從提供的數據能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長的、麻煩的算術運算。

　　射影幾何真正獨立的研究是由彭賽勒開創的。1822年，他發表了《論圖形的射影性質》一文，給該領域的研究以巨大的推動作用。他的許多概念被斯坦納進一步發展。1847年，斯陶特發表了《位置幾何學》一書，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來。

　　后來證明，采用度量適當的射影定義，能在射影幾何的范圍內研究度量幾何學。將一個不變二次曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統的非歐幾何學。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，并且有限射影幾何也被發現。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經歷了許多其它重要的幾何學。

　　3、解析幾何

　　解析幾何即坐標幾何，包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何通過平面直角坐標系和空間直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關系，從而建立起曲線或曲面與方程之間的一一對應關系，因而就能用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。

　　在初等數學中，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支；在方法上，它們也基本是互不相關的。解析幾何的建立，不僅由于在內容上引入了變量的研究而開創了變量數學，而且在方法上也使幾何方法與代數方法結合起來。

　　在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，笛卡兒和費爾馬開始構思現代解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個根本區別：前者是幾何學的一個分支，后者是幾何學的一種方法。

　　1637年，笛卡兒發表了《方法論》及其三個附錄，他對解析幾何的貢獻，就在第三個附錄《幾何學》中，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。在《平面和立體軌跡導論》中，費爾馬解析地定義了許多新的曲線。在很大程度上，笛卡兒從軌跡開始，然后求它的方程；費爾馬則從方程出發，然后來研究軌跡。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面，“解析幾何”的名稱是以后才定下來的。

　　這門課程達到現在課本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天這樣使用坐標、橫坐標、縱坐標這幾個術語，是萊布尼茲于1692年提出的。1733年，年僅18歲的克雷洛出版了《關于雙重曲率曲線的研究》一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，歐拉寫的《無窮分析概要》，可以說是符合現代意義的第一部解析幾何學教程。1788年，拉格朗日開始研究有向線段的理論。1844年，格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號。于是多維解析幾何出現了。

　　解析幾何在近代的發展，產生了無窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。普通解析幾何只不過是代數幾何的一部分，而代數幾何的發展同抽象代數有著密切的聯系。

　　4、非歐幾何

　　非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。

　　歐幾里得的第5公設(平行公設)在數學史上占有特殊的地位，它與前4條公設相比，性質顯得太復雜了。它在《原本》中第一次應用是在證明第29個定理時，而且此后似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設的公理地位，并探索用其它公理來證明它，以使它變為一條定理。在三千多年的時間中，進行這種探索并有案可查的就達兩千人以上，其中包括許多知名的數學家，但他們都失敗了。

　　羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發表了劃時代的研究結果，開創了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設“過不在已知直線上的一點，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設，同時保留了歐氏幾何的其它公設。

　　1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設“過已知直線外一點，沒有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第5公設，同時保留了歐氏幾何的其它公設。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基―鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。

　　非歐幾何的發現不僅最終解決了平行公設的問題――平行公設被證明是獨立于歐氏幾何的其它公設的，而且把幾何學從其傳統模型中解放出來，創造了許多不同體系的幾何的道路被打開了。

　　1854年，黎曼發表了“關于作為幾何學基礎的假設的講演”。他指出：每種不同的(兩個無限靠近的點的)距離公式決定了最終產生的空間和幾何的性質。1872年，克萊因建立了各種幾何系統按照不同變換群不變量的分類方法。

　　19世紀以后，幾何空間概念發展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對應著一種定理系統。1899年，希爾伯特發表了《幾何基礎》一書，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴密的基礎，并給出了證明一個公理體系的相容性(無矛盾性)、獨立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統中，只不過是極其特殊的情形罷了。

　　5、拓撲學

　　1736年，歐拉發表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點、邊、面之間關系的歐拉公式，這可以說是拓撲學的開端。

　　龐加萊于1895～1904年建立了拓撲學，采用代數組合的方法研究拓撲性質。他把歐拉公式推廣為歐拉―龐加萊公式，與此有關的理論現在稱為同調理論和同倫理論。以后的拓撲學主要按照龐加萊的設想發展。

　　拓撲學開始是幾何學的一個分支，在二十世紀它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發表博士論文，把函數作為一個“點”來看，把函數收斂描繪成點的收斂，這就把康托的點集論和分析學的抽象化聯系起來了。他在函數所構成的集合中引入距離的概念，構成距離空間，展開了線性距離空間的理論。在這個基礎上，產生了點集拓撲學。在豪斯道夫的《點集論綱要》一書中，出現了更一般的點集拓撲學的完整想法。第二次世界大戰后，把分析引進拓撲，發展了微分拓撲。

　　現在的拓撲學可以粗略地定義為對于連續性的數學研究。任何事物的集合都能在某種意義上構成拓撲空間，拓撲學的概念和理論已基本完組成為數學的基礎理論之一，滲入到各個分支，并且成功地應用于電磁學和物理學的研究。