2025年高考數(shù)學(xué)集合大小定義的基本要求

　　作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?下文是集合大小定義的基本要求，希望可以幫助到同學(xué)們。

　　首先，一個集合的大小只應(yīng)該取決于這個集合本身。

　　我們知道一個集合可以用多種方法來構(gòu)造和表示，比如說，

　　A={小于等于2的正整數(shù)｝

　　B={1,2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其實都是同一個集合，

　　D={n|n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數(shù)解｝

　　又怎么樣呢?1996年英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它里面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。

　　一個集合得和自己一樣大，這個沒有什么好說的;

　　其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

　　第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴(yán)格地說，這個偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關(guān)系定義出的等價類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的敘述和上面所說的也有區(qū)別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個注在講什么也不要緊)。如果一個關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應(yīng)原則的定義!

　　舉個例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關(guān)系并不要求任意兩個對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一個中國人，我對中國的科幻創(chuàng)作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣——所以更確切地也許應(yīng)該說，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。

　　不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。

　　最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴(kuò)充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)充。

　　“整體大于部分”原則的困難和一一對應(yīng)原則的優(yōu)點

　　滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認(rèn)為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因為所對應(yīng)的集合都是無限集合。

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然后在上面我們每隔一厘米畫一個點，并在每個點旁邊標(biāo)上1、2、3……等，這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點就是代表自然數(shù)的那些點，所以這些點的個數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順著上面的思路，這些點的個數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標(biāo)有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。

　　再舉一個例子。假設(shè)我給你一個大口袋，里面有無限多個小口袋，上面按照自然數(shù)標(biāo)了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推。現(xiàn)在我當(dāng)著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數(shù)和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點，應(yīng)該是少了，少一條。但是如果我當(dāng)初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因為這時大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別，所以小口袋的數(shù)量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個比方，大口袋就是一個集合。按照上面的要求，集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身，而不應(yīng)該取決于集合的表示方法或構(gòu)造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量，而不用知道我是否做過手腳。

　　這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn)，如果堅持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時，比如比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個數(shù)時，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如說，x'=x+1這樣一個數(shù)軸上的坐標(biāo)平移，會將坐標(biāo)上的點集{1,2,3……｝變?yōu)閧2,3,4……｝，一個坐標(biāo)平移居然可以變動點集中元素的個數(shù)!“元素可以一一對應(yīng)的兩個集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從：怎樣不使用一一對應(yīng)的方法來比較自然數(shù)和數(shù)軸上(0,1)區(qū)間中點的個數(shù)?

　　在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個點的例子，如果我們把不是10的倍數(shù)的點去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個點集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實上，無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因為這恰好就是無限集合的特征。

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