勾股定理的證明方法及常用公式
來(lái)源：高三網(wǎng) 2021-11-29 23:17:35
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
1勾股定理推導(dǎo)：歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。
在這個(gè)定理的證明中，我們需要如下四個(gè)輔助定理：
如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。
任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。
證明的思路為：從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形，通過(guò)等高同底的三角形，以其面積關(guān)系，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。
設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。
因?yàn)镃
A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。
同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。
把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。
此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的。
由于這個(gè)定理的證明依賴于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。
2勾股定理常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)
1、過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線
2、兩點(diǎn)之間線段最短
3、同角或等角的補(bǔ)角相等
4、同角或等角的余角相等
5、過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直
6、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短
7、平行公理經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9、同位角相等，兩直線平行
10、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
11、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
12、兩直線平行，同位角相等
13、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
15、定理三角形兩邊的和大于第三邊
16、推論三角形兩邊的差小于第三邊
17、三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180"
18、推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19、推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和
20、推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
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