2020北京高考數學試卷權威解析

　　數學試卷整體分析

　　2020年高考數學北京卷落實立德樹人根本任務，加強關鍵能力和素養的考查，通過“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”做好文理合卷，形成“一個中心，三個基本點，五條路徑”的評價體系。即以立德樹人為中心；以知識思想、能力素養、應用文化為三個基本點；以優化試卷結構、精選試題素材、科學設計試題內容、創新試題設問方式、凸顯試題發展功能為五條實施的路徑。

　　以立德樹人為命題的中心

　　北京卷命題以立德樹人為根本，突出試題的育人價值。如第15題關注現實生活中的環境污染問題，引導學生關注民生，樹立有責任的公民意識。

　　北京卷繼續堅持對“四具備”人才的考查。如第9題，考查的是三角函數的知識，需要細致的觀察、嚴謹的推理和高度概括整合，找出角與三角函數值之間的關系；第20題的第（2）問，需要學生在計算過程中，一絲不茍，嚴謹求實的精神。

　　總之，北京卷通過設置不同的問題情境，體現高考的育人功能。

　　●以知識思想、能力素養、應用文化為命題的三個基本點

　　數學是自然科學的基礎，也是重大技術創新發展的基礎；而數學實力往往影響著國家實力。北京卷以知識思想、能力素養和應用文化為命題的三個基本點，力圖把學生的數學真實實力考出來。

　　01

　　突出對主干知識和重要思想的考查

　　北京卷突出考查主干知識內容，強調通性通法。如對集合、復數、向量、函數、三角函數、立體幾何、解三角形、統計與概率、函數與導數、圓錐曲線等主要板塊的主干內容進行重點考查，充分體現了對數學知識考查的基礎性、全面性和綜合性。

　　數學基本思想方法是數學知識在更高層次的抽象與概括。北京卷第5、6、10、15題考查數形結合的思想；第8、19題考查函數與方程的思想；第10、13、16、21題考查化歸與轉化思想；第18題考查或然與必然的思想；第19、21題考查分類與整合的思想。

　　02

　　突出對數學關鍵能力和

　　數學學科素養的考查

　　北京卷突出對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大素養的綜合考查。

　　如第15題污水治理問題，主要考查學生的抽象概括、直觀想象能力。第18題是考查學生數據分析和數學建模的素養。北京卷設計現實性和綜合性問題，在現實情境中考查學生核心素養的發展水平。

　　03

　　突出對數學應用和文化的考查

　　北京卷突出對數學應用和文化的考查。數學應用考查方面，北京卷關注社會，關注學生發展，引導學生運用所學數學知識解決生活實際問題。如第15題，選取具有時代特色的環境治理為情境創設數學問題，考查學生身邊的數學；第18題考查概率統計知識在數學和生活中的應用，使學生體會到數學知識與現實生活息息相關。

　　北京卷進一步加強數學文化的考查，增強文化性。如第10題關注無理數的兩種計算方法：中國傳統的“割圓術”和數學家阿爾·卡西的求解方法。既弘揚了中國傳統文化，又引導學生學習世界輝煌燦爛的數學文化。

　　●助力文理合卷新高考落地的五條路徑

　　根據考試內容要求、考生群體變化、考生水平變化，北京卷在試題的文理合卷方面，遵循“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的基本原則。通過優化試卷結構、精選試題素材、科學設計試題內容、創新試題設問方式、凸顯試題發展功能等方面推進新高考的改革，打造高考數學命題新形態。

　　01

　　優化試卷結構，

　　推進文理合卷順利實施

　　在保持測試時長和總分不變的前提下，北京卷優化試卷的結構，調整了選擇題、填空題和解答題的數量和分值。選擇題由原來的8道變為10道，填空題由原來的6道變為5道。增加了主觀題的比例，主客觀題目比值為1.3:1。通過加強對主觀題的考查，為學生展現數學思維能力搭建了平臺。

　　根據試題難度和要求，北京卷在試題的排列順序上也有所變化。如首次將立體幾何解答題放在解答題的第一題進行考查。這種嘗試增強了試題靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

　　在試卷難度控制上，為了增強文科傾向考生在數學學習上的獲得感，試題“入口易、口徑寬”，中低難度試題的分值占有一定的比例；為了繼續保持理科傾向考生在數學學習上的成就感，試題“深入緩、出口難”，沒有降低綜合創新題的難度，依然具有較強的挑戰性，并保持了較好的區分度。

　　02

　　精選試題素材，

　　貼近學生的真實生活

　　北京卷試題素材的選取真實、自然、合理。如第15題通過以污水治理為背景設置題目，體現了十九大報告提出的“提供更多優質生態產品以滿足人民日益增長的優美生態環境需要”的要求；第18題通過活動方案支持度調查，體現了民主決策過程。材料源于社會、源于真實情境，考查學生分析和解決具有實際意義問題的能力。

　　03

　　科學設計試題內容，

　　回歸數學本質和學生的基礎

　　北京卷命題體現數學本質，遵循學生身心發展的規律。一是試題內容緊扣課標和教材，體現數學的本質，引導教學回歸數學本質，回歸學生的基礎。如第10題根據教材中提到的“割圓術”的部分思想改編而成，第16、17題都是立體幾何和三角部分的基礎性問題。

　　二是試題具有豐富的問題梯度，符合學生的認知規律。如第12、13題，都是設置兩空，第一空為第二空適當做鋪墊。如第18題，學生在解決了第（1）問后，就會為第（2）問的解答提供基礎和臺階。試卷通過“多問把關”“多題把關”等方式，為不同水平的考生搭建了施展才華的舞臺。

　　04

　　創新試題呈現方式，

　　力求考出具有不同專業傾向

　　學生的真實水平

　　北京卷在試題上進行適度創新，增強試題的選擇性和開放性。

　　一是設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題。如第14題，要求學生給出滿足條件的一個常數值，試題答案不唯一。學生需要根據已有的信息進行猜想、探究和推理，從而得出結論。

　　二是設計分層賦分試題。第15題污水治理問題，從不同角度設置了4個選項，其中3個是正確的。

　　三是設計了結構不良問題，需要學生自己選擇適當的條件進行解決。如第17題的設問具有開放性，學生需要選擇條件①或條件②，用余弦定理或正弦定理去求解三角形。兩個問題需要的知識和方法有所不同，考查具有不同專業傾向的學生真實水平。

　　05

　　凸顯試題的價值功能，

　　為學生的終身發展打基礎

　　北京卷的命題，不僅體現人才的選拔功能，而且還引導學生去探索，應用數學知識去解決職場與生活中的實際問題。如第18題，以學生熟悉的學校生活為背景來設計，重點考查抽樣，樣本估計總體，總體的概率推斷。第（1）問考查“樣本估計總體”的思想，現實生活中需要對總體做一些判斷，比如兩個男學生是否同時支持該方案的概率，或者更復雜的群體（如第（2）問中的群體）的支持度。除性別外，第（3）問考查不同年級的支持情況。作為校方，為了提高學生的支持度，需要加強對高年級的學生宣傳和方案完善。問題引導學生積極參與到學校的各項活動和決策中，這為學生未來的職業發展奠定了基礎。

　　高考具有發展性功能，北京卷在促進學生數學的可持續思考中起到重要的作用。第21題需要學生運用逆向思維、歸納、分類討論、反證法、最小數原理等數學思考方法，并能用數學的語言邏輯，嚴謹地寫出證明過程。考查學生的一般化和概括遷移能力，有助于引導學生從做題到做事，為未來進一步學習奠定良好的基礎。

　　2020年是文理合卷的第一年，疫情給高考命題帶來了新的問題和挑戰。北京卷以立德樹人為中心，著力于知識方法，能力素養，文化應用的考查，依據“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”“多問把關”“多題把關”等基本原則進行文理合卷的設計，形成了“一個中心，三個基本點，五條路徑”的評價體系。

　　引導教學在六個方面“下功夫”，即“在主干知識的掌握上下功夫”“在數學學科本質的理解上下功夫”“在數學思想方法的領悟上下功夫”“在數學應用探究上下功夫”“在創新思維形成上下功夫”“在數學素養的養成上下功夫”。

　　導向中學對“四具備”人才的培養，即“具備自覺的數量觀念的人”“具備嚴密推理邏輯的人”“具備高度抽象概括的人”“具備一絲不茍、精益求精作風的人”。

　　2020年數學學科高考命題落實新高考文理合卷要求、保持命題總體穩定的前提下，變中求穩，穩中求進，不忘教育初心，牢記高考改革的使命，引導中學遵循教育規律，助力學生德智體美勞的全面發展。

　　數學試卷的特點

　　2020年高考北京數學試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數學教學現狀，知識要素覆蓋全面，數學素養考查突出。與去年相比，在試卷結構、分數設置等方面有所調整，在題型分布、難度預設和梯度設計方面基本保持穩定。試題設計圍繞高中數學的核心內容，重點知識重點考查，通性通法著力考查；圍繞學生的學習和生活實際，考查數學知識的綜合與應用，體現數學的文化及教育價值。

　　●保持穩定和連續性，穩中有進，適度創新

　　相比于去年，數學試卷總體穩定，有利于考生穩定心態，正常發揮；適度創新，有利于考查考生的實踐能力和鍥而不舍的精神。

　　相比于去年，數學試卷由兩套試卷（文理各一套）調整為一套試卷，試題題型依然是選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分布。試題的表述形式簡潔、規范，圖文準確并相互匹配，呈現方式及作答方式堅持多樣化，延續了北京數學試卷“大氣、平和”的特點。

　　相比于去年，數學試卷在題量分布、分數設置等方面均有變化，調整了部分考查內容，出現了新穎的題目形式。例如選擇題由8個小題，每題5分，調整為了10個小題，每題4分，總分保持不變；填空題由6個小題，調整為了5個小題，每題依然是5分，總分由30分降為25分；解答題依然是6個小題，但總分由80分提升為85分。在考查內容上有所調整，刪減了一些歷年常考的內容，如線性規劃、算法和程序框圖、參數方程和極坐標等。在題目呈現上出現了一些新的變化，用以區分不同能力水平的學生。例如第（17）題難度并不大，但思維的自由度較大，由考生自行選擇設計問題并解答，凸顯考生分析和解決問題的能力。

　　●堅持考查基礎知識和基本技能，夯實基礎，強調綜合

　　整份試卷注重對基礎知識和基本方法的考查，主干內容重點考查。

　　例如，選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、復數、二項式定理、三視圖、兩點間的距離公式、函數定義域、雙曲線的性質、平面向量等內容。

　　在試題設計上，這些試題涉及的知識點相對較少、思維相對簡單，易于解答。在此基礎上，試卷強調對主干內容的重點考查，體現了對數學知識考查的全面性、基礎性和綜合性，在解答題中重點考查了立體幾何、三角函數、概率統計、導數、直線與圓錐曲線、數列綜合等主干內容。解答題的前2道題，表述簡單明確，集中考查立體幾何和解三角形的主干知識及核心概念。再例如第（18）題，情境熟悉，問題清楚，重點考查讀題、讀表、計算等基本技能及方法。

　　●堅持考查數學方法及數學本質，能力立意，凸顯數學素養

　　試卷突出了數學學科素養，在關注考生未來發展的同時，以能力立意，強調了數學方法和數學本質的考查，在選拔功能等方面都作了精心設計。

　　例如，第（6）題表面上是解不等式，實質是在考查基本初等函數的圖像，有助于學生建立形與數的聯系，加深對事物本質和發展規律的理解和認知，體現了直觀想象核心素養；第（18）題的解決需要學生分析數據，從數據中獲得有用信息并形成數學模型，注重了對公民應具備的基本數學素養——數據分析的考查；第（20）題考查了解析幾何中的主要方法，需要學生具備一定的數學運算核心素養，并能夠程序化思考問題；第（21）題是以數列知識為背景的創新問題，梯度明顯，重點考查了學生的邏輯推理素養，對學生有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和數學交流能力有一定的要求。此外，從第（18）題到第（21）題，雖然每道題都考查了數學的主干知識和主要方法，入口也很容易，但其出口并不簡單，試題在讓不同層次的學生均有所獲得同時，進行多題把關，體現了試題的選拔功能。

　　●重視數學應用，滲透數學文化，體現數學價值

　　應用問題在素材選取上，源于社會實際和學生的真實生活，考查學生數學應用素養、理性思維素養，引導學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。

　　例如第（15）題，以環保部門要求相關企業加強污水處理，排放未達標的企業要限期整改這個情境為載體，貼近生活，是對數學學習后所沉淀下來的素養的考查，要求考生能夠在短時間內審清題意，理清解決問題的思路，建立適當的數學模型來解決問題，體現試題的教育價值。例如第（10）題，以2020年3月14日全球首個國際圓周率日為背景，結合中國優秀傳統數學文化中的“割圓術”及近代數學史上西方的阿爾·卡西法，感悟數學“近似計算”之美，將美育教育融入數學教育。引導學生關注世界，學習世界燦爛的數學文化。例如第（18）題，以學生身邊的兩項活動方案來設置問題，考查概率統計在生活中的應用，使學生體會到數學與現實生活息息相關。這類問題重點考查數據處理能力，也增強學生用數據表述及解決現實問題的意識。

　　縱觀整份試卷，在突出基本知識、基本技能和基本思想方法考查的同時，突出考查學生的數學素養，展現數學的應用價值。保持了北京試卷綜合、靈活的特色，變中求穩，穩中求進，給不同能力水平的學生提供了展示的平臺，對今后的數學教學起到了積極的引導作用。

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