高中數學正弦定理和余弦定理知識點分析

高中數學正弦定理和余弦定理知識點分析

高中數學，正弦定理和余弦定理貫穿著整個高中數學階段，可以說是非常重要的知識點了。正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決三角形的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

高中數學正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

正弦定理

(1)已知三角形的兩角與一邊，解三角形

(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

(3)運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉換關系

直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。[1]

步驟1

在銳角△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足為點H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 作直徑BD交⊙O于D. 連接DA 因為在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角，所以∠DAB=90度 因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個等式。

高中數學余弦定理

余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的余弦值

對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質—— S△ABC=1/2absin S△ABC=1/2bcsinA S△ABC=1/2acsinB

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

平面向量證法(覺得這個方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來還是由余弦定理得出來的，怎么又能反過來證明余弦定理) ∵如圖，有a+b=c (平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c?=a·a+2a·b+b·b∴c?=a?+b?+2|a||b|Cos(π-θ) 又∵Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c?=a?+b?-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數公式) 再拆開，得c?=a?+b?-2abcosC 即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。

在任意△ABC中做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC?=AD?+DC? b?=(sinB c)?+(a-cosB c)? b?=(sinB*c)?+a?-2ac cosB+(cosB)?c? b?=(sin?B+cos?B) c?-2ac cosB+a? b?=c?+a?-2ac cosB cosB=(c?+a?-b?)/2ac