2017年高考數學北京卷解析

2017年高考數學北京卷以《普通高中數學課程標準(實驗)》和《北京市普通高中新課程數學學科教學指導意見和模塊學習要求(試行)》以及《考試說明》為依據，在命題的整體思路、試卷設計、試題風格以及整體難度等方面，既保持相對穩定，又有適度變化，體現繼承與創新相結合的原則;適當注意到文理科考生的不同特點，同時關注作為公民對數學所必備的共同基礎，以及新高考改革趨勢;既體現了高考的選拔功能，又在引導中學數學教學方面進行了新的探索.

一、立德樹人，體現數學核心素養與數學文化

通過數學的學習，獲得終身發展所必備的數學核心素養和意志品格，是數學教育的基本目標，也是創新人才培養的關鍵因素.高考數學命題既要關注對數學基礎知識、基本技能的考查，更要關注考生終身發展所需要的數學核心素養.

試卷多處從不同角度和層次考查了考生數學運算能力，借助理科(7)題和(16)題，文科(6)題和(18)題考查考生的直觀想象，借助理科(17)題和文科(17)題考查考生數據分析和數學建模等數學核心素養.

抽象、推理和建模是數學的基本思想，也是數學研究的重要方法.根據數學學科的這一特點，讓考生在數學學習中逐步培養和提升數學抽象能力、感悟抽象的數學與鮮活的現實世界之間的聯系，體驗數學模型思想，是數學教學的一個重要任務.例如，理科(20)題來源于優化理論的一個算法，但并不需要考生掌握超出課程標準要求之外的數學知識，考查的是考生通過中學階段數學基礎知識的學習，正確理解抽象的數學概念，在邏輯推理的基礎上，從具體中進行數學符號化表征的能力.考生要有比較全面和扎實的數學基礎，具有較高的綜合分析問題、解決問題的能力和較好的數學抽象、邏輯推理和數學建模等素養.

數學是人類文化的重要組成部分，數學教育對科學理性精神的培養、嚴謹求實的科學態度的形成具有重要的作用.數學教育需要體現價值觀、人生觀的正確導向功能.

例如，文理(13)題是一道開放型試題，答案不唯一，要求考生通過一個反例證偽，培養考生批判質疑的科學態度.

教育部2017年新修訂的《考試大綱(數學)》中增加了數學文化的考查要求.文理(8)題中選擇了傳統文化中極具代表性的符號———圍棋，從數學的視角欣賞和理解優秀傳統文化的博大精深，強化愛國主義精神和民族自豪感，深入發掘中國文化內涵，講好中國故事.

二、注重基礎，強調數學核心概念與學科本質

高中教育屬于基礎教育.高中數學課程具有基礎性，承載著使未來公民掌握必需的數學基礎知識、基本技能的任務.數學試卷整體上保持一定比例的基礎題.選擇題和填空題大多以考查考生對數學基礎知識的理解為主，檢測考生對高中數學課程標準所要求的相關知識內容的掌握情況.解答題中文理科(15)題、(16)題以及(18)題、(19)題的第一問等，都考查考生對相關基本概念、性質的理解情況.

三、能力立意，重視數學思想方法與通性通法

學習數學不僅要掌握知識和技能，更要掌握思想和方法.數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，是數學的靈魂和精髓.掌握數學的思想和方法，學會數學的思考，是高中數學教學的核心任務和長遠目標，對數學學科能力的發展有關鍵作用.

數學思想方法、數學能力的考查要與數學知識的考查結合進行.考查時，從學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.突出數學試題的能力立意，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力.強調探究性、綜合性、應用性.例如，理科(14)題要求考生在對具體實例抽象概括的過程中，發現研究對象的本質，充分利用向量工具性，通過數形結合解決給定的實際問題，考查考生抽象概括能力和推理論證能力.文科(14)題考查邏輯推理，要求考生根據約束條件，利用各個量之間的數量關系，推斷人員構成的有關結論.理科(19)題和文科(20)題，都是重點考查考生利用導數研究函數性質的通法.

四、重視應用，著力綜合實踐能力與創新意識

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010—2020年)》指出，基礎教育階段要提高基礎教育的質量，要著力培養學生的學習能力、創新能力和實踐能力.數學是現代高新技術發展的關鍵推動力，已成為人類生活必不可少的重要組成部分.將數學運用于實踐，是公民必備的基本能力.對數學實踐應用能力和創新能力一直是近年來高考數學北京卷的重要內容.

例如，理科(17)題是一道概率統計題，直接的背景是研究一種新藥的療效，讓考生理解當今大數據時代下的統計分析方法及其應用的思路.本題主要考查考生在實際問題情景中對圖和數據的學習能力，應用隨機變量分布列、數學期望和方差等統計知識進行數據分析解決實際問題的能力.

文科(17)題主要是在實際生活中讓考生理解和應用分層抽樣的原理對總體進行統計推斷，要求考生具備應用頻率分布直方圖進行數據分析，應用樣本頻率估計總體概率的思想解決實際問題的能力.

五、科學評價，引導中學數學教學與學生發展

高考的一項重要功能是科學選才，同時也需要對教學實踐起到積極的導向作用.一方面，試卷在適當控制難度的前提下，通過設計一定比例的基礎題，重在考查考生對數學基礎知識、基本技能的理解、掌握和運用.倡導在日常教學實踐中，面向全體學生，重視數學核心概念的學習和理解，掌握數學的本質.注重知識的形成過程，淡化特殊的技巧訓練，滿足所有學生的共同數學需求.

另一方面，通過設計一定難度和區分度的靈活多樣、綜合性問題，考查考生解決問題的能力，既可讓不同能力水平的考生得到充分展示的機會，又可將不同能力水平的考生甄別出來，滿足不同層次大學的選才需求.

文科試卷：突出核心素養 考查實際應用

文科數學試卷在結構、題型等方面繼續保持了穩定平和的特點，突出數學核心素養的考查，重視揭示數學核心概念的本質屬性，強調數學實際應用和考生的生活體驗，體現中國傳統文化.為了引導考生多角度入手，在題目設問上做了積極的探索，鼓勵考生大膽質疑，用數學的知識與方法解決問題.

總體穩定 穩中有變

和2016年相比，多數試題的知識呈現形式及順序基本不變，如選擇題前三道試題考查的內容和六道解答題考查的順序完全一致.(13)題的解答方式、(16)題第二問的設問方式都有新意.

注重基礎 揭示本質

文科試卷的選材大多源于教材，重點知識重點考查.如數列的通項與求和、三角變換與三角函數的圖像與性質、統計與概率的應用、空間幾何中線面平行與垂直、解析幾何中直線與曲線的位置關系、函數與導數等核心知識，同時涉及了集合、不等式、簡易邏輯、推理與證明、向量、算法、復數等知識.突出考查對基本概念的理解，如(7)題考查平面向量共線定理，(9)題考查三角函數的定義.

考查能力 突出核心素養

通過在知識的交匯點處命題、創設新背景問題，突出數學試題的能力立意，凸顯核心素養的考查.(6)題考查直觀想象，(8)題突出數學運算，(14)題考查數學建模，(18)題考查邏輯推理等，(13)題突出邏輯推理能力的考查，(19)題注重幾何本質和解析幾何基本思想方法的考查，(20)題考查函數的通性通法.

重視傳統文化 考查實際應用

應用數學知識解決較復雜、具有挑戰性的問題，在本次試卷中得到充分體現.如(8)題，以圍棋這一傳統文化為背景，通過數學化的運算手段，解決圍棋狀態空間復雜度的近似計算.以考生熟悉的問題為背景，考查數學在實際生活中的應用.(14)題要求考生通過閱讀，提取信息，構建數學模型;(17)題要求考生通過經歷分析圖表數據、做出估計這一完整過程，體會統計的思想，學會用數學的思考方式解決問題、認識世界.

理科試卷：突出通性通法 強調數學應用

理科數學試卷在堅持重視基礎的同時，注重思想方法的考查，突出考查了考生的數學素養、數學應用意識、理性思維等，在數學文化方面也有所體現.

注重基礎 突出通性通法的考查

試卷平和穩定，注重基礎考查.例如選擇題的前幾題是考生熟悉的集合、復數、程序框圖、線性規劃等問題;填空題的前四題涉及的知識依然是等差數列、等比數列、雙曲線、極坐標中的基本概念與運算;解答題前三題的載體是解三角形、立體幾何、統計與概率中的基本問題.這些題目入手容易，有助于考生穩定發揮.

試卷突出了基本技能、基本思想方法的考查.例如讀圖、讀表、計算、數據處理等基本技能，數形結合、轉化與化歸、函數與方程等基本數學思想方法.

合理設置梯度 突出選拔功能

試卷在適當控制難度的前提下，通過設計一定難度和區分度的問題，讓不同層次的考生都能得到充分展示的機會.例如與往年試題相比，根據試題新穎程度的不同，本卷調整了立體幾何與概率統計問題的位置;根據設置問題的難易，對換了解析幾何與導數問題的位置.這些調整與變化以能力立意為主，通過合理的設置梯度，考查考生對知識的理解是否到位，體現了選拔功能.

強調數學應用 體現傳統文化

試卷在注重知識和方法考查的同時，強調數學的應用，且體現了傳統文化.例如選擇題的(8)題，以中國圍棋狀態空間復雜度為背景，又與現在的人工智能相結合，落腳點在常考的對數運算上.再如(17)題，研究了藥物療效中的數學問題，突出對圖形數據分析理解能力的考查.這個問題來自生活實際，卻又高于生活.

關注數學本質 滲透學科核心素養

試題在考查通性通法的基礎上，以命題的新穎性，避開了模式化的解題思路，在問題的考查角度和呈現方式上都有所改變，突出了數學的本質.如(12)題，從三角函數幾何定義的角度呈現試題;(13)題是一道開放型試題，答案不唯一，要求考生舉反例進行證偽.

整套試卷對數學核心素養進行了充分考查.例如(6)題考查了邏輯推理素養，(7)題、(14)題考查了幾何直觀素養，(20)題對數學抽象素養進行了考查，等等.這些都與新課程標準中的理念相吻合，將引導今后的數學教學.

孫秀平 西城區教育研修學院教研員 張如意 北京市潞河中學教師 王文英 朝陽區教育研究中心教研員

張許合 東城區教師研修中心教研員 邵文武 海淀區教師進修學校教研員 李青霞 北京教科院基教研中心教研員