高考數(shù)學(xué)最常見、最熱門的思想方法

高考數(shù)學(xué)最常見、最熱門的思想方法

數(shù)學(xué)研究對(duì)象一直以來主要集中在數(shù)量關(guān)系和空間形式兩個(gè)方面，通俗的說，數(shù)學(xué)就是“做”關(guān)于“數(shù)”與“形”兩者之間的事情。下文有途網(wǎng)小編給大家整理了一些高考數(shù)常見的思維方式，供參考!

數(shù)形結(jié)合的高考數(shù)學(xué)思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決具體數(shù)學(xué)問題的思想方法，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題通過數(shù)形結(jié)合變得簡(jiǎn)單，最終得到解決。

我們把數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行細(xì)致化，可以從這兩個(gè)方面去理解：

1、數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”主要是指數(shù)和數(shù)量關(guān)系;

2、“形”主要是指圖形，有點(diǎn)、線、面、體等。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

1) 求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

2) 求圓C的方程;

3) 問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解：令x=0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b);

令f(x)=x2+2x+b=0，由題意b=?0 且Δ>0，解得b<1 且b=?0，實(shí)數(shù)b的取值范圍是b∈(-∞，0)∪(0,1).

2) 解：設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0

令y=0得x2+Dx+F=0這與x2+2x+b=0 是同一個(gè)方程，

故D=2，F(xiàn)=b.

令x=0得y2+Ey+F=0，

此方程有一個(gè)根為b，

代入得出E=―b―1.

所以圓C 的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

3) 證明：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)，(x0，y0不依賴于b)，

將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，

并變形為x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0 (*)

為使(*)式對(duì)所有滿足b<1(b=?0)的b都成立，

必須有1-y0=0，

結(jié)合(*)式得

x02+y02+2x0-y0=0，

解得x0=0，y0=1;或x0=-2，y0=1

經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(-2,0)均在圓C上，

因此圓C 過定點(diǎn)。

具體來說，要想在具體問題中抓住數(shù)形結(jié)合，可以從以下四個(gè)方面入手：

1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng);

2、函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng);

3、曲線與方程的對(duì)應(yīng);

4、以幾何元素及幾何條件為背景，通過坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)的對(duì)應(yīng)，有復(fù)數(shù)、三角、空間點(diǎn)的坐標(biāo)等。

熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以很直觀幫助我們?nèi)ソ鉀Q具體的數(shù)學(xué)問題，如在解決高考數(shù)學(xué)填空題、選擇題這些客觀題時(shí)候，數(shù)形結(jié)合思想就有直觀、簡(jiǎn)單、快捷等特點(diǎn)。即使是面對(duì)高考數(shù)學(xué)解答題，最終的解題過程我們都需要借用具體、嚴(yán)密、推理的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，而圖形只是輔助手段。

已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)

1) 求f(x)的解析式;

2) 是否存在自然數(shù)m使得方程f(x)+37/x=0在區(qū)間(m，m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?若存在，求出m值;若不存在，說明理由.

解：(1) ∵ f(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5)，

∴ 可設(shè)f(x)=ax(x-5)(a>0).

∴ f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a.

由已知，得6a=12，

∴ a=2，

∴ f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

2) 方程f(x)+37/x=0等價(jià)于方程2x3-10x2+37=0.

設(shè)h(x)=2x3-10x2+37，

則h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

當(dāng)x∈(0,10/3)時(shí)，

h′(x)<0，h(x)是減函數(shù);

當(dāng)x∈(10/3，+∞)時(shí)，

h′(x)>0，h(x)是增函數(shù).

∵ h(3)=1>0，

h(10/3)=-1/27<0，h(4)=5>0，

∴ 方程h(x)=0在區(qū)間(3,10/3),(10/3，4)內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，+∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)m=3，使得方程f(x)+37/x=0在區(qū)間(m，m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。

數(shù)學(xué)在教育的不同階段有怎樣的特征

在小學(xué)時(shí)期，雖然數(shù)學(xué)教育沒有對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)訓(xùn)練，但在很多數(shù)學(xué)內(nèi)容里都蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合的思想。如小學(xué)生最開始通過具體物品的數(shù)量變化，來消化和理解加減乘除等基本運(yùn)算。

進(jìn)入初中之后，教材才正式給出數(shù)形結(jié)合這一重要思想方法，也是中考數(shù)學(xué)重要和熱門考點(diǎn)。如要想掌握好函數(shù)相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，就必須把函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行相結(jié)合，才能真正理解函數(shù)這一重要知識(shí)內(nèi)容;或是學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容，需要把基本的幾何圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，把圖形語言轉(zhuǎn)化成具體的數(shù)學(xué)語言等。

特別是進(jìn)入高中之后，這些變化對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等都提出了挑戰(zhàn)。很多考生經(jīng)常會(huì)說，為什么我做了那么多題目，還是考不出好成績(jī)?關(guān)鍵就是沒有認(rèn)真去消化和理解數(shù)學(xué)思想方法，解題沒有結(jié)合具體思想方法;或解題反思只是反思解題技巧，卻對(duì)數(shù)學(xué)思想方法沒有進(jìn)行反思總結(jié)等。