導數公式及推導過程有哪些
2019-01-15 20:26:47高三網
導數公式有哪些
1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
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導數公式推導過程
1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。
�、策@個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明。
⒊y=a^x,
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）
△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x
如果直接令△x→0，是不能導出導函數的，必須設一個輔助的函數β=a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道：△x=loga（1+β）。
所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β
顯然，當△x→0時，β也是趨向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。
⒋y=logax
△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[（1+△x/x)^x]/x
△y/△x=loga[（1+△x/x)^(x/△x)]/x
因為當△x→0時，△x/x趨向于0而x/△x趨向于∞，所以lim△x→0loga（1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有
lim△x→0△y/△x=logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1）的推導了。因為y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx·（nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1）。
�、祔=sinx
△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）
△y/△x=2cos(x+△x/2）sin（△x/2）/△x=cos(x+△x/2）sin（△x/2）/（△x/2）
所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2）·lim△x→0sin（△x/2）/（△x/2）=cosx
�、额愃频兀梢詫С鰕=cosx y'=-sinx。
�、穣=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
⒏y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
�、箉=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
⒑y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
�、粂=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2
�、紋=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
�、铰摿ⅲ�
①（ln(u^v))'=(v * lnu)'
�、冢╨n(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)
另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較復雜的復合函數求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與
�、磞=u±v,y'=u'±v'
�、祔=uv,y=u'v+uv'
