高三數學教案：《簡單的線性規劃》教學設計

　　本文題目：高三數學教案：簡單的線性規劃

　　●知識梳理

　　1.二元一次不等式表示平面區域

　　在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內的點P(x0，y0).

　　B>0時，①Ax0+By0+C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方;②Ax0+By0+C<0，則點P(x0，y0)在直線的下方.

　　對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數變形為正數.

　　當B>0時，①Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區域;②Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=0下方的區域.

　　2.線性規劃

　　求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.

　　滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數的定義域);使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優解.生產實際中有許多問題都可以歸結為線性規劃問題.

　　線性規劃問題一般用圖解法，其步驟如下：

　　(1)根據題意，設出變量x、y;

　　(2)找出線性約束條件;

　　(3)確定線性目標函數z=f(x，y);

　　(4)畫出可行域(即各約束條件所示區域的公共區域);

　　(5)利用線性目標函數作平行直線系f(x，y)=t(t為參數);

　　(6)觀察圖形，找到直線f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優解，給出答案.

　　●點擊雙基

　　1.下列命題中正確的是

　　A.點(0，0)在區域x+y≥0內

　　B.點(0，0)在區域x+y+1<0內

　　C.點(1，0)在區域y>2x內

　　D.點(0，1)在區域x-y+1>0內

　　解析：將(0，0)代入x+y≥0，成立.

　　答案：A

　　2.(2005年海淀區期末練習題)設動點坐標(x，y)滿足

　　(x-y+1)(x+y-4)≥0，

　　x≥3，

　　A. B. C. D.10

　　解析：數形結合可知當x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.

　　答案：D

　　2x-y+1≥0，

　　x-2y-1≤0，

　　x+y≤1

　　A.正三角形及其內部

　　B.等腰三角形及其內部

　　C.在第一象限內的一個無界區域

　　D.不包含第一象限內的點的一個有界區域

　　解析：將(0，0)代入不等式組適合C，不對;將( ， )代入不等式組適合D，不對;又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關于y=x對稱且所夾頂角α滿足

　　tanα= = .

　　∴α≠ .

　　答案：B

　　4.點(-2，t)在直線2x-3y+6=0的上方，則t的取值范圍是________________.

　　解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，則2×(-2)-3t+6<0，解得t> .

　　答案：t>

　　5.不等式組 表示的平面區域內的整點(橫坐標和縱坐標都是整數的點)共有____________個.

　　解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3個.

　　答案：3

　　●典例剖析

　　【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區域的面積.

　　剖析：依據條件畫出所表達的區域，再根據區域的特點求其面積.

　　解：|x-1|+|y-1|≤2可化為

　　x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，

　　y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，

　　x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

　　其平面區域如圖.

　　∴面積S= ×4×4=8.

　　評述：畫平面區域時作圖要盡量準確，要注意邊界.

　　深化拓展

　　若再求：① ;② 的值域，你會做嗎?

　　答案： ①(-∞，- ]∪[ ，+∞);②[1，5].

　　【例2】 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h(4≤v≤20)從A港出發到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市駛去.應該在同一天下午4至9點到達C市.設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h.

　　(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;

　　(2)如果已知所需的經費

　　p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元)，

　　那么v、w分別是多少時走得最經濟?此時需花費多少元?

　　剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.

　　解：(1)依題意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.

　　∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①

　　由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至14個小時之間，即9≤x+y≤14.②

　　因此，滿足①②的點(x，y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).

　　(2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y)，

　　∴3x+2y=131-p.

　　設131-p=k，那么當k最大時，p最小.在通過圖中的陰影部分區域(包括邊界)且斜率為- 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(10，4)，即當x=10，y=4時，p最小.

　　此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.

　　評述：線性規劃問題首先要根據實際問題列出表達約束條件的不等式.然后分析要求量的幾何意義.

　　【例3】 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?

　　剖析：弄清題意，明確與運輸成本有關的變量的各型車的輛數，找出它們的約束條件，列出目標函數，用圖解法求其整數最優解.

　　解：設每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么

　　x+y≤9，

　　10×6x+6×8x≥360，

　　0≤x≤4，

　　0≤y≤7.

　　z=252x+160y，

　　其中x、y∈N.

　　作出不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖.

　　作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當直線252x+160y=t經過點(2，5)時，滿足上述要求.

　　此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304.

　　答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低.

　　評述：用圖解法解線性規劃題時，求整數最優解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f(x，y)=t的斜率要畫準，可行域內的整點要找準，最好使用“網點法”先作出可行域中的各整點.

　　●闖關訓練

　　夯實基礎

　　1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________條件.

　　A.充分而不必要 B.必要而不充分

　　C.充分且必要 D.既不充分也不必要

　　解析：數形結合.

　　答案：B

　　2.(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區域為

　　解析：可轉化為

　　x+2y+1≥0， x+2y+1≤0，

　　x-y+4≤0 x-y+4≥0.

　　答案：B

　　3.(2004年全國卷Ⅱ，14)設x、y滿足約束條件

　　x≥0，

　　x≥y，

　　2x-y≤1，則z=3x+2y的最大值是____________.

　　解析：如圖，當x=y=1時，zmax=5.

　　答案：5

　　x-4y+3≤0，

　　3x+5y-25≤0，

　　x≥1，

　　_________.

　　解析：作出可行域，如圖.當把z看作常數時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當直線y=zx過點A時，z最大;當直線y=zx過點B時，z最小.

　　x=1，

　　3x+5y-25=0，得A(1， ).

　　x-4y+3=0，

　　3x+5y-25=0，

　　∴zmax= = ，zmin= .

　　答案：

　　5.畫出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點的△ABC的區域(包括各邊)，寫出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數z=3x-2y的最大值和最小值.

　　分析：本例含三個問題：①畫指定區域;②寫所畫區域的代數表達式——不等式組; ③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數的最值.

　　解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區域為所求△ABC區域.

　　直線AB的方程為x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0.

　　在△ABC內取一點P(1，1)，分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-1>0，x-y+2>0，2x+y-5<0.

　　因此所求區域的不等式組為

　　x+2y-1≥0，

　　x-y+2≥0，

　　2x+y-5≤0.

　　作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t(t為參數)，即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x- t過A(3，-1)時，縱截距- t最小.此時t最大，tmax=3×3-2× (-1)=11;

　　當直線y= x- t經過點B(-1，1)時，縱截距- t最大，此時t有最小值為tmin= 3×(-1)-2×1=-5.

　　因此，函數z=3x-2y在約束條件

　　x+2y-1≥0，

　　x-y+2≥0，

　　2x+y-5≤0

　　6.某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉，問應如何配制盒飯，才既科學又費用最少?

　　解：設每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，

　　所需費用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足

　　6x+3y≥8，

　　4x+7y≥10，

　　x≥0，

　　y≥0，

　　由圖可知，直線y=- x+ S過A( ， )時，縱截距 S最小，即S最小.

　　故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時既科學又費用最少.

　　培養能力

　　7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?

　　解：設A、B兩種藥分別配x、y劑(x、y∈N)，則

　　x≥1，

　　y≥1，

　　3x+5y≤20，

　　5x+4y≤25.

　　上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區域，這個區域內的整點為(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1).所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.

　　8.某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況(如資金、勞動力)確定產品的月供應量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩種產品的有關數據如下表：

　　資 金 單位產品所需資金(百元) 月資金供應量(百元)

　　空調機 洗衣機

　　成 本 30 20 300

　　勞動力(工資) 5 10 110

　　單位利潤 6 8

　　試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?

　　解：設空調機、洗衣機的月供應量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有

　　30x+20y≤300，

　　5x+10y≤110，

　　x≥0，

　　y≥0，

　　x、y均為整數.

　　由圖知直線y=- x+ P過M(4，9)時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96(百元).

　　故當月供應量為空調機4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤9600元.

　　探究創新

　　9.實系數方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0，1)內，另一個根在(1，2)內，求：

　　(1) 的值域;

　　(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;

　　(3)a+b-3的值域.

　　f(0)>0

　　f(1)<0

　　f(2)>0

　　b>0，

　　a+b+1<0，

　　a+b+2>0.

　　如圖所示. A(-3，1)、B(-2，0)、C(-1，0).

　　又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為(1)( ，1);(2)(8，17);(3)(-5，-4).

　　●思悟小結

　　簡單的線性規劃在實際生產生活中應用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產任務;或是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉化為數學模型，歸結為線性規劃，使用圖解法解決.

　　圖解法解決線性規劃問題時，根據約束條件畫出可行域是關鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的非封閉平面區域.第二是畫好線性目標函數對應的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關系要判斷準確.通常最優解在可行域的頂點(即邊界線的交點)處取得，但最優整數解不一定是頂點坐標的近似值.它應是目標函數所對應的直線平移進入可行域最先或最后經過的那一整點的坐標.

　　●教師下載中心

　　教學點睛

　　線性規劃是新增添的教學內容，應予以足夠重視.

　　線性規劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區域，是解決線性規劃問題的基礎，因為在直線Ax+By+C=0同一側的所有點(x，y)實數Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側任取一點(x0，y0)〔若原點不在直線上，則取原點(0，0)最簡便〕，把它的坐標代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直線的哪一側.這是教材介紹的方法.

　　在求線性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時，設ax+by=t，則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優解.

　　解線性規劃應用題步驟：(1)設出決策變量，找出線性約束條件和線性目標函數; (2)利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標函數達到最大(或最小).

　　拓展題例

　　【例1】 已知f(x)=px2-q且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的范圍.

　　解：∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，

　　p-q≤-1，

　　p-q≥-4，

　　4p-q≤5，

　　4p-q≥-1.

　　求z=9p-q的最值.

　　p=0，

　　q=1，

　　zmin=-1，

　　p=3，

　　q=7，

　　∴-1≤f(3)≤20.

　　【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠，生產甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車;B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數最少?

　　解：設A廠工作x h，B廠工作y h，總工作時數為t h，則t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解區域如圖.而符合問題的解為此區域內的格子點(縱、橫坐標都是整數的點稱為格子點)，于是問題變為要在此可行解區域內，找出格子點(x，y)，使t=x+y的值為最小.

　　由圖知當直線l：y=-x+t過Q點時，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看Q點是否是格子點.

　　x+3y=40，

　　2x+y=20，

　　得Q(4，12)為格子點.

　　故A廠工作4 h，B廠工作12 h，可使所費的總工作時數最少.