高考一輪復習數學：不等式恒成立問題

　　高考數學：一輪復習函數不等式恒成立問題的基本類型

　　類型1：設 ，（1） 上恒成立 ；（2） 上恒成立 。

　　類型2：設

　　（1）當 時， 上恒成立 ，

　　上恒成立

　　（2）當 時， 上恒成立

　　上恒成立

　　類型3：

　　。

　　類型4：

　　恒成一、用一次函數的性質

　　對于一次函數 有：

　　例1：若不等式 對滿足 的所有 都成立，求x的范圍。

　　解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為： ，；令 ，則 時， 恒成立，所以只需 即 ，所以x的范圍是 。

　　二、利用一元二次函數的判別式

　　對于一元二次函數 有：

　　（1） 上恒成立 ；（2） 上恒成立

　　例2：若不等式 的解集是R，求m的范圍。

　　解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。

　　（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；

　　（2） 時，只需 ，所以， 。

　　三、利用函數的最值（或值域）

　　（1） 對任意x都成立 ；

　　（2） 對任意x都成立 。簡單計作："大的大于最大的，小的小于最小的"。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。

　　例3：在 ABC中，已知 恒成立，求實數m的范圍。

　　解:由 ， ， 恒成立， ，即 恒成立，

　　例4：（1）求使不等式 恒成立的實數a的范圍。

　　解析：由于函 ，顯然函數有最大值 ， 。

　　如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：

　　（2）求使不等式 恒成立的實數a的范圍。

　　解析：我們首先要認真對比上面兩個例題的區別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得 的最大值取不到 ，即a取 也滿足條件，所以 。

　　所以，我們對這類題要注意看看函數能否取得最值，因為這直接關系到最后所求參數a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數單獨放在一側，所以也叫分離參數法。

　　四：數形結合法

　　對一些不能把數放在一側的，可以利用對應函數的圖象法求解。

　　例5：已知 ，求實數a的取值范圍。

　　解析：由 ，在同一直角坐標系中做出兩個函數的圖象，如果兩個函數分別在x=-1和x=1處相交，則由 得到a分別等于2和0.5，并作出函數 的圖象，所以，要想使函數 在區間 中恒成立，只須 在區間 對應的圖象在 在區間 對應圖象的上面即可。當 才能保證，而 才可以，所以 。

　　例6：若當P(m,n)為圓 上任意一點時，不等式 恒成立，則c的取值范圍是（   ）

　　A、     B、

　　C、             D、

　　解析：由 ，可以看作是點P(m,n)在直線 的右側，而點P(m,n)在圓 上，實質相當于是 在直線的右側并與它相離或相切。 ，故選D。

　　同步練習

　　1、設 其中 ，如果 時， 恒有意義，求 的取值范圍。

　　分析：如 時， 恒有意義，則可轉化為 恒成立，即參數分離后 ， 恒成立，接下來可轉化為二次函數區間最值求解。

　　解：如果 時， 恒有意義 ，對 恒成立.

　　恒成立。

　　令 ， 又 則  對 恒成立，又 在 上為減函數， ， 。

　　2、設函數是定義在 上的增函數，如果不等式 對于任意 恒成立，求實數 的取值范圍。

　　分析：本題可利用函數的單調性把原不等式問題轉化為 對于任意 恒成立，從而轉化為二次函數區間最值求解。

　　解： 是增函數 對于任意 恒成立

　　對于任意 恒成立

　　對于任意 恒成立，令 ， ，所以原問題 ，又 即    易求得 。

　　3、    已知當x R時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求實數a的取值范圍。

　　方法一）分析：在不等式中含有兩個變量a及x，本題必須由x的范圍（x R）來求另一變量a的范圍，故可考慮將a及x分離構造函數利用函數定義域上的最值求解a的取值范圍。

　　解：原不等式

　　當x R時，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立

　　設 則

　　∴

　　方法二）題目中出現了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用換元法把sinx換元成t,則可把原不等式轉化成關于t的二次不等式，從而可利用二次函數區間最值求解。

　　解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化為

　　a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,則t [-1,1],

　　不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 2t2-4t+4-a>0,t [-1,1]恒成立。

　　設f(t)= 2t2-4t+4-a，顯然f(x)在[-1，1]內單調遞減，f(t)min=f(1)=2-a, 2-a>0 a<2

　　4、設f(x)=x2-2ax+2,當x [-1,+ )時，都有f(x) a恒成立，求a的取值范圍。

　　分析：在f(x) a不等式中，若把a移到等號的左邊，則原問題可轉化為二次函數區間恒成立問題。

　　解：設F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.

　　ⅰ)當 =（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0時，即-2<a<1時，對一切x [-1,+ )，F(x)  0恒成立；

　　ⅱ）當 =4（a-1)(a+2)  0時由圖可得以下充要條件： 即

　　得-3 a -2;綜上所述：a的取值范圍為[-3，1]。

　　5、當x (1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。

　　分析：若將不等號兩邊分別設成兩個函數，則左邊為二次函數，右邊為對數函數，故可以采用數形結合借助圖象位置關系通過特指求解a的取值范圍。

　　解：設T1: = ,T2: ,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x (1,2),  < 恒成立即T1的圖象一定要在T2的圖象所的下方，顯然a>1,并且必須也只需 ,故loga2>1,a>1, 1<a 2.

　　6、已知關于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實數a的取值范圍。

　　分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,若將等號兩邊分別構造函數即二次函數y= x2+20x與一次函數y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。

　　解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)

　　當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a= ;

　　當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a= ∴a的范圍為[ ， ）。