2019年高考數學總復習專練：函數與方程

　　高考數學總復習:函數與方程

　　函數與方程

　　考點一、零點所在區間問題

　　1.(1)下列關于函數 的說法正確的是（     ）

　　內均有零點              在區間 內均無零點

　　在 內有零點，在 內無零點         在 內無零點，在 內有零點

　　解：選D。 =  令f '(x)=0 得x=3，則0＜x＜3時f(x)為減函數，

　　x＞3時，f(x)為增函數，f(x)在x=3處取得最小值f(3)=1-ln3＜0，f( )= +1＞0 ，f(1)= ＞0，f(e)= -1＜0 ，所以在區間（ ，1）內無零點，在區間（1，e)內有零點。

　　（2）已知函數f(x)＝(12)x－x13 ，在下列區間中，含有函數f(x)零點的是(　　)

　　A．(0，13)　　　 　B．(13，12)         C．(12，1)          D．(1,2)

　　解：f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13 －(13)13 >0，f(12)＝(12)12 －(12)13 <0，∵f(13)·f(12)<0，且函數f(x)的圖象為連續曲線，∴函數f(x)在(13，12)內有零點．

　　（3)函數f(x)=ax+1-2a在區間（-1,1）上存在一個零點，求a的取值范圍。

　　解：由題的f（-1）f(1)<0,即（-3a+1)（1-a)<0.，則13<a<1.

　　考點二、二分法

　　2.設

　　（1）證明方程 在區間 內有實數解；（2）使用二分法，取區間的中點3次，指出方程 的實數解 在哪個較小的區間內

　　解：（1）函數 的圖象是連續曲線 ，因為 ，

　　所以 所以方程 在區間 內有實數解

　　（2）①取區間 的中點1，這時 因為 ，所以    所以 ②取區間 的中點 ，這時   因為 ，所以 所以

　　③取區間 的中點 ，這時 由以上分析可知

　　考點三、方程的根與零點個數問題

　　3.(1)函數f(x)= 的零點個數為(   )  A。0      B。1    C。2        D。3

　　解:當x≤0時,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),當x> 0時,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函數f(x)有2個零點,故選C .

　　(2)函數f(x)=xcos x2在區間[0,4]上的零點個數為(　 　)A。4       B。5     C。6    D。7

　　解:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,因為x∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于cos =0(k∈Z),故當x2= , , , , 時,cos x2=0.所以零點個數為6.故選C.

　　(3)函數f(x)=ex+3x的零點個數是(　　)   A.0        B。1       C。2          D。3

　　解:知f(x)=ex+3x在R上 單調遞增,又∵f(-1)= e-1-3<0,f(1)=e+3>0,∴函數只有一個零點。

　　(4)函數f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內零點的個數為(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．3

　　解：在同一坐標系內作出函數y＝|x－2|與y＝lnx的圖象，∵lne＝1，e<3，∴由圖象可見兩函數圖象有兩個交點，∴函數f(x)有兩個零點．

　　(5)若定義在R上的函數y＝f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，函數g(x)＝log3 x－1 　 x>1 2x   x≤1 ，則函數h(x)＝f(x)－g(x)在區間[－5,5]內的零點的個數為(　　)

　　A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6

　　解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，又x∈[－1，1]時，f(x)＝x2，∴f(x)的圖象如圖所示，在同一坐標系中作出函數g(x)的圖象，可見y＝f(x)(－5≤x≤5)與y＝2x(x≤1)有5個交點，y＝f(x)(－5≤x≤5)與y＝log3(x－1)(x>1)的圖象有3個交點，∴共有8個交點．

　　（6已知f(x)是R上奇函數，且周期為3，當 時，f(x)= ,求f(x)在 上的零點個數。

　　解：由已知f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1）=0， ，由圖像知：f(x)在 上有9個零點。

　　考點四、函數零點的轉化思想問題

　　(1)已知a是函數f(x)＝2x－ 的零點，若0<x0<a，則f( )的值滿足(　　)

　　A．f(x0)＝0        B．f(x0)<0        C．f(x0)>0         D．f(x0)的符號不確定

　　解：分別作出y＝2x與y＝log12x的圖象如圖，當0<x0<a時，y＝2x的圖象在y＝log12x圖象的下方，所以，f(x0)<0.

　　(2)已知函數f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是(　　)A．x1<x2<x3      B．x2<x1<x3          C．x1<x3<x2      D．x3<x2<x1

　　解：令f(x)＝x＋2x＝0，因為2x恒大于零，所以要使得x＋2x＝0，x必須小于零，即x1小于零；令g(x)＝x＋lnx＝0，要使得lnx有意義，則x必須大于零，又x＋lnx＝0，所以lnx<0，解得0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝x－x－1＝0，得x＝x＋1>1，即x3>1，從而可知x1<x2<x3.

　　(3)方程y＝x2－|x|＋a－1有四個零點，求a的取值范圍。

　　解：設f（x）=x2-│x│，直線y=1-a與f（x）有四個交點,由函數圖像可知 ,得a∈（1， ）∴a取值范圍為（1， ）。

　　考點五。二次函數零點的分布問題

　　5.(1)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求實數k的取值范圍。

　　解：設兩根分別為A， B，0<A<1;1<B<2根據偉達定理得：A+B=-（k-2） A*B=2k-1

　　1<A+B=-（k-2）<30<A*B=2k-1<2解不等式組，得出答案 1/2<k<1

　　(2)若關于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的兩個實根α，β滿足0<α<1<β<2，求實數t的取值范圍．

　　解：令f(x)=3tx^2+(3-7t)x+4，0＜α＜1＜β＜2，所以f(0)*f(1)<0，f(1)*f(2)<0，

　　所以4*(3t+3-7t+4)<0，(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0，由4*(3t+3-7t+4)<0

　　得到-4t+7<0，t> 。由(3t+3-7t+4)(12t+6-14t+4)<0得到(-4t+7)(-2t+10)<0，(4t-7)(2t-10)<0，所以 <t<5

　　(3)已知函數f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原點右側至少有一個零點，求實數m的取值范圍．

　　解：1)m=0,易知成立2）m不等于0，（m-3)^2-4m=0,得m=1或9,

　　當m=1時，解得x=1,符合當m=9時，解得x=-1/3,不符合，舍去

　　3)a.有一個零點，則（m-3)^2-4m>0,1/m<0,得m<0

　　.b.有兩個零點，則(m-3)^2-4m>0,(3-m)/m>0,1/m>0,得0<m<1

　　綜上，得m的取值范圍為（ ，1]