高三數(shù)學(xué)常考知識(shí)點(diǎn)：不等式

　　一、 簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

　　簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)之一，是歷年高考的必考內(nèi)容，主要以填空題的形式考查最優(yōu)解的最值類(lèi)問(wèn)題的求解，高考的命題主要圍繞以下幾個(gè)方面：

　　（1） 常規(guī)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，即求在線(xiàn)性約束條件下的最值問(wèn)題；

　　（2） 與函數(shù)、平面向量等知識(shí)結(jié)合的最值類(lèi)問(wèn)題；

　　（3） 求在非線(xiàn)性約束條件下的最值問(wèn)題；

　　（4） 考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用．而其中的第(2)(3)(4)點(diǎn)往往是命題的創(chuàng)新點(diǎn)。

　　【例1】 設(shè)函數(shù)f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。

　　(1) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,32，求f(θ)的值；

　　(2) 若點(diǎn)P(x,y)為平面區(qū)域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值。

　　分析 第(1)問(wèn)只需要運(yùn)用三角函數(shù)的定義即可；第(2)問(wèn)中只要先畫(huà)出平面區(qū)域Ω，再根據(jù)抽畫(huà)出的平面區(qū)域確定角θ的取值范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數(shù)的最值。

　　解 (1) 由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。

　　于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。

　　(2) 作出平面區(qū)域Ω (即三角形區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?．于是0≤θ≤?π?2,

　　又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，

　　且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，

　　故當(dāng)θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時(shí)，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；

　　當(dāng)θ+?π?6=?π?6，即θ=0時(shí)，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。

　　點(diǎn)評(píng) 本題中的最大的亮點(diǎn)在于以解答題的形式將線(xiàn)性規(guī)劃中的基礎(chǔ)內(nèi)容平面區(qū)域與三角函數(shù)的求值進(jìn)行了的有機(jī)綜合，過(guò)去歷年高考對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃考查中并不多見(jiàn)。

　　二、 基本不等式

　　基本不等式是不等式的重要內(nèi)容,也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)之一。它的應(yīng)用幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有的章節(jié),高考命題的重點(diǎn)是大小判斷、求最值、求范圍等．大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現(xiàn)了不少考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

　　【例2】 心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完的知識(shí)存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4；若在t(t>0)天時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，則此時(shí)這似乎存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍（復(fù)習(xí)的時(shí)間忽略不計(jì)），其后存留量y?2隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)恰好為直線(xiàn)的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a<?0)，存留量隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)如圖所示。當(dāng)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量相差最大時(shí)，則稱(chēng)此時(shí)刻為“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”。

　　（1） 若a=－1,t=5，求“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”；

　　（2） 若出現(xiàn)了“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”，求a的取值范圍。

　　分析 關(guān)鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義，建立函數(shù)關(guān)系，再用基本不等式求最值。

　　解 設(shè)第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量之差為y，

　　由題意知，y?2=a(t+4)?2(?x－?t)+8t+4(?t>?4),

　　所以y=y?2－y?1=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)。

　　當(dāng)a=－1,t=5時(shí)，

　　y=－1(5+4)?2(x－5)+85+4－4x+4

　　=－(x+4)81－4x+4+?1≤?－2481+1=59，

　　當(dāng)且僅當(dāng)x=14 時(shí)取等號(hào)，所以“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”為第14天．

　　(2) y=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4?=－－a(x+4)(t+4)?2－?4x+4+8t+4－a(t+4)(t+4)?2?≤－2－4a(t+4)?2+?8－at+4，當(dāng)且僅當(dāng)－a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2－a(t+4)－4 時(shí)取等號(hào)，

　　由題意2－a(t+4)－4>t，所以－4

　　點(diǎn)評(píng) 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的，關(guān)鍵是要注意運(yùn)用基本不等式的條件：一正、二定、三相等。

　　三、 不等式的求解

　　【例3】 對(duì)于問(wèn)題：“已知關(guān)于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2)，解關(guān)于x的不等式ax?2－bx+c>0”，給出如下一種解法：

　　參考上述解法，若關(guān)于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,－13∪12,1，則關(guān)于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集為? ? 。

　　分析 觀(guān)察發(fā)現(xiàn)ax?2+?bx+?c>0將x換成?－x得??a(－x)?2+?b(－x)+c>0，則解集也相應(yīng)變化，－x∈(－1,2)，則?x∈?(－2,1)，不等式kx+a+x+bx+c<0將x換成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0，故1x∈－1,－13∪12,1，分析可得答案。

　　解 由ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2)，得a(－x)?2+b(－x)+c>0的解集為(?－2?,1)，即關(guān)于x的不等式ax?2－bx+c>0的解集為(－2,1)。

　　若關(guān)于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,?－13?∪12,1

　　則關(guān)于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得，則有1x∈?－1?,－13∪12,1從而解得x∈(－3,?－1?)∪(1,2),故答案為(－3,－1)∪(1,2)。

　　點(diǎn)評(píng) 本題考查了類(lèi)比推理，一元二次不等式以及分式不等式的求解，通過(guò)已知條件發(fā)現(xiàn)規(guī)律，屬于探究類(lèi)創(chuàng)新題。

　　綜上所述，不等式之所以成為高考中經(jīng)久不息考試熱點(diǎn)，而且創(chuàng)意不斷常考常新．除了不等式的知識(shí)本身在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有豐富的內(nèi)涵和突出的地位外，與它和高等數(shù)學(xué)、現(xiàn)實(shí)生活有著緊密的關(guān)系也是重要的原因之一．在高考命題中，追尋不等式與其他重點(diǎn)知識(shí)的新穎巧妙的組合以及與高等數(shù)學(xué)的相互聯(lián)系，挖掘不等式在現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用，把對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)以及在全新的情景中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)等的考查賦于不等式的考查之中，往往是高考對(duì)不等式考查的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)。

　　牛刀小試

　　1。若a>0,b>0，且函數(shù)f(x)=4x?3－ax?2－2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于．??

　　2． 關(guān)于x的不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數(shù)解之和為27，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

　　【參考答案】

　　1。f′(x)=12x?2－2ax－2b，∵f(x)在?x=?1處有極值，

　　∴f′(1)=0，即12－2a－?2b=?0，化簡(jiǎn)得?a+?b=6，

　　∵a>0,b>0，∴ab≤a+b2?2=9，當(dāng)且僅當(dāng)?a=??b=?3時(shí)，ab有最大值，最大值為9。

　　2． 由x?2－(a+1)x+a<0得(x－1)(x－a)<0，由題意可知a≤1不可能，否則不能滿(mǎn)足不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數(shù)解之和為27，所以a>1，由(x－1)(x－a)<0解得?1<?x