高二數學考試中導數常見易錯考點總結

2011-03-22 15:03:04高考研究中心文章作者：郭化楠

　　高二數學的第二學期，學生將完成所有基礎知識內容的學習。對于絕大多數的理科生而言，這個學期的前半學期學習的是選修2-2這本書，所以很自然的，這本書中的重點--導數將會成為這次期中考試的核心知識點。

　　導數這部分內容對于中學生來說比較抽象，加之新課改更強調數學的工具性，因此很多學生學完導數，對導數的運算法則掌握的比較好--這也是必要的，而對于導數的基本概念、應用中的常見易錯點掌握的并不熟練。本文不會面面俱到的講導數的每種考察方式，而是列舉幾個學生容易忽略的易錯考點，已達到查漏補缺的目的。

　　在歷次期中考試中，學生在導數這部分知識常見的易錯點包括：

　　一、對導數基本概念的理解。

　　導數的本質是"平均變化率的極限"，也就是，而這里的形式并不重要，只要是是"相同區間"上的"函數值之差"比上"自變量"之差，就是導數。如果能理解清楚這一點，再看題目常出的、之類的形式，就感覺比較清晰了。

　　二、復合函數求導計算錯誤。

　　對于復合函數求導的規則，同學大多掌握的不錯，但題目中真正出現復合函數的時候，計算還是會出問題。問題出在哪，不在于不會算，而是沒有發現這是復合函數。

　　課標要求學生掌握形如f(ax+b)的復合函數求導規則，這一點已經限制的很死板了。所以當題目中的函數比較符合這個形式的時候，同學大多也是認的出來的，比如這樣的函數。反而是內層函數更簡單的時候，會被學生忽略，例如這樣的函數。所以同學在求導的時候，一定要刻意觀察這一點，識別隱蔽在這里的陷阱。

　　三、導數與單調區間的關系。

　　利用導數求函數的的單調區間是導數應用中最基本的題型，按說本不是什么難點。但是這里有一個最大的麻煩，就是導數與函數的單調性不是充要條件。因此，什么時候寫，又在什么時候應該寫是很多同學犯迷糊的地方。

　　這里需要注意一個要點，我們每一步運算或者推導，得到的條件其實都是原條件的必要非充分條件，想清楚這一點，面對這個問題就清晰了。

　　如果原題讓我們"求"函數的增區間，我們就用增區間的充分非必要條件，也就是來求范圍；如果原題給了我們函數增區間的性質，我們就利用增區間的必要非充分條件，也就是來解題。

　　四、含參導數問題。

　　導數這部分的大題，簡單題通常很常規，給一個不含參的函數，求單調區間和極值，也可能再利用極值分析一下函數根的分布。而比較難的大題，往往是考察含參函數的性質。

　　含參的導數問題，又有兩種典型的考法。

　　一種是考察函數的單調區間，近兩年北京高考題的導數大題就是這么考察的。考察的重點在于對參數進行分類討論。這時候往往先考慮現有條件對參數有沒有限制，如果有限制，一定要在限制范圍內分類討論。

　　另一種是給定函數在某區間的單調性，求參數的取值范圍。這種含參不等式的問題，往往可以通過分離變量或類似的方法，轉化為不等式的恒成立問題。而"恒成立"的含義，一定是比"比最大的還大"或"比最小的還小"。因此恒成立問題往往又可以轉化為求函數最值的問題。而給定函數求最值，又是同學學習導數應用的基本功。所以，這類題目，只要思路清晰，往往也并不難處理。

　　導數這部分知識雖然學生以前并不熟悉，又比較抽象。但是整體而言，期中考試的考察不會太難，題目的結構和形式往往同學在是日常練習中所熟悉的。因此，把常見的易錯點進行梳理和分析，考試時做到心中有數，就能讓自己的成績有所突破。