第十一屆希望杯數學邀請賽培訓題答案

第十一屆希望杯數學邀請賽培訓題答案

一、選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 B C B C B D C D A B D A D 題號 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 答案 A C C A D C A C B D C D                                                   1．　－7的絕對值是它的相反數7。　 選B。   2．1999－ ＝ ＝1＋2000＝2001　　 選C。   3．既然只有零和它的相反數相同，所以①不正確，②是正確的，另外1與－1都等于其倒數，因此④不正確，③是正確的。所以選擇B。   4．根據同類項定義判定。選擇C。   5．設六月份產量為A，則七月份產量為。 設八月份比七月份要增加X才能達到六月份產量A，則，解得所以八月份的產量要比七月份的增加℅。選B。   6．其實，要比較的大小，易知最小，與的差的絕對值最小的數是 選D。   7． ＝ ＝　 選C       8．（1）若則，因此所以有 （2）若則必有則也有 故選D。     9．（－1）＋（－1）－（－1）（－1）÷（－1）＝（－2）－（－1）＝－1　 選A。     10．其中（A）、（C）、（D）運算都是正確的，而（B）的運算是錯誤的，事實上正確運算應為。 選B。   11．當<0時， ∴　 選D。   12．　 選A。   13．由于，所以A不正確；又，所以B不正確；所以C不正確；D是正確的。 選D。   14．－的相反數－的相反數的負倒數，也就是的負倒數，等于　 選A。   15．設參加聚會共個人，其年齡分別為則即 兩年前，這個人的年齡依次為所以其平均年齡為： ＝ 所以選C。   16．∵<0，　 ∴　 選C。   17．由可知 所以 選A。   18．圖中可見<<0<1<, 由<,則有<,(A)不真; 由< 且>0,則有<,(C) 不真；由c<a且b<0,則有>不真而真，所以選D。     19．由∴的正整數角為1，2，3，4共4個，選C。       20．順序A的三項任務相對等待時間之和為 順序B的三項任務相對等待時間之和為 順序C的三項任務相對等待時間之和為 順序D的三項任務相對等待時間之和為 比較知最小。選A   21．由圖可知S小于寬為2.5，長為3的矩形的面積，大于寬為1.8 ，長為3的矩形面積， 即 。 選 C   22．設每屆參賽人數的平均增長率為，由題意知，滿足關系式11＝148，所以 即 　 而 ， ，可見30％ 選B。   23．因為所以　 ，代入，得出   24．3是6和9的公約數，小于6，所以排除A；6和9的最小公倍數是18，小于54，所以排除B、D。自然數與的最大公約數小于等于是成立的。　 選C   25．由得如果中有一個成立，則所以，當時，只能進而。 選D 二、填空題 (26) －10　 (27) 　　(28) 2000　 (29) 0.02　 (30) －8　 (31) (32) 1，9，9，0　 (33) 204　 (34) 　　(35) 　　(36) 40　 (37) 4 (38) 8.9　（39）　 （40）　 （41）　 （42）7200 （43）10　 （44）17　　 （45）－48　 （46）167　 （47）480　 （48）10 （49）4000000　 （50）1　　 （51）　 （52）　　 （53）0　 （54）　　 （55）　 （56）　 （57）0　 （58）1000000 （59）－2　 （60）　 （61）　 （62）4　 （63）34　 （64）0　 （65）25　　 （66）1885或1995　　 （67）45或80　 （68）7　 （69）14 （70）84　　 （71）190　　 （72）28　　 （73）84　 （74）有兄弟4人，姐妹3人。　 （75）甲現在28歲，乙現年21歲。     26．   27．890000用科學記載法表示為   28．用四舍五入法，精確到個位數，1999，509的近似數是2000。   29．與中，大數為，小數為，所以大數減小數所得差為 －（）＝＋12.45＝0.02   30．由與是同類項知，所以   31．的負倒數為 的倒數為二者之和為   32．0.1990的有效數字是1，9，9，0   33．設等數為，則 即 ∴   34．設□中的數是， 則 　　　     35．原式 ＝     36．180－＝， 解得 　角為     37． 　 ∴   38．設甲樓高米，乙樓高米，丙樓高米，則米， 米。 而米，即乙樓比甲樓低米。   39．設中間的數為，則，∴ 這四個數絕對值之和為   40．由與是關于的同解方程，可知 解得　　　 ∴　 　 。   41．由　　　　　　　　 相加得 　　 ③ 42．設甲、乙兩地間路程為L，從甲地到乙地上坡程程為W，則下坡路程為L－W，于是從甲地到乙地用時自乙地返回甲地用時則有 即　　　 　∴     43.設1999年父親年齡為，小明的年齡為，則有 　　　　 　　　　　 由得　 　　　 ①代入③得 　　∴　 即小明1999年年齡是10歲。   44．由同類項之意義可得 解得　　　 　　　　　　　　故　　   45．解方程　 解得：　　　 　　　　故：　 －   46．分解　 ＝ 所以由都是二位正整數得，它們可能取值為77，55，35，11。因此的最大值是77＋55＋35＝167。   47．設甲瓶食鹽水重克，乙瓶食鹽水重克，則依題意得方程組如下： 　　　 即　　 ∴ 即甲瓶食鹽水重480克。   48．通過計數，共可數出10個三角形。   49．當時， 所以，原式＝ 　　　　 ＝ 　　　　 ＝ 　　　　 ＝   50．上述數串各項被3除的余數是1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，… △×∽　　　　　　　　 △×∽ 從第9項開始循環。而余7． 即第1999項與第7項被3除的余數相同，余數是1．   51．形的面積等于矩形面積減去三個小三角形面積，而三個小三角形面積恰好是短形面積的，所以   52．○中填的數是：　 □中填的數是： 而   53．○中填1，△中填0，□填8。（1＋8）×0＝0．   54．由－3，－2，－1，4，5中任取三個相乘可得10種不同的乘積，它們是 （－3）（－2）（－1）＝－6，（－3）（－2）4＝24，（－3）（－2）5＝20， （－3）（－1）4＝12，（－3）（－1）·5＝15，（－3）（4）（5）＝－60， （－2）（－1）·4＝8，（－2）（－1）·5＝10，（－2）·4·5＝－40，（－1）·4·5＝－20． 最大乘積是30，最小的乘積是－60．－（－30）÷－60＝－   55．　 1－ ＝＝ ＝   56．按規則，甲同學的標準體重為161－110＝51，正常體重應在與之間，即所以   57．若則 若<0，則>0．所以的最小值是0．   58． = =   59．由圖可見， 又 ； 由圖可知 　所以：     60．分三種情況討論： （1）　　　當時， （2）　　　當時， (3)當時， 綜合（1），（2），（3），可得，最小值是 61．設線段的長度為，則 所以 　即 即 長度為   62．由于36是的倍數，所以只能是0或3，同理，36也是的倍數，所以只能是0或1．于是是3或18，是1或4．在四對數3，1；3，4；18，1和18，4中，只有18和4的最小公倍數是36，因而所以   63．設乙跑了X米，則在秒時乙發出叫聲，聲音傳到甲處用了秒，兩段時間之和等于5，所以 米   64．因為 所以   初一數學答案   65．設大正方形長為，小正方形邊長為，則S△ABC 平方厘米．   66．設則其中為8或9，因為250052，10， 被11除的余數分別為0，－1，1，可設250052＝ 為正整數，故可得所以所求四位數是1885或1995．   67．設1分、2分、5分硬幣分別為枚，則 　　　　　 　　　 得　 　　　　　　 當時，，；當，3，4時均不合題意；當5時，， ；當6，7，8均不合題意． 所以，原方程的解為 或　 ，或．   68．設這個數學小組的成員共有人，男孩子為人，則均為自然數，且． 即： 且． 于是： 且 則： 所以　 　所以最小值是7． 這時 所以　 　因此，這個數學小組成員至少有7個人。   69．四位數每個數位都可以選1或2，共兩種方法，所以排成四位數共有種方法。但由于只有三個1和三個3，因此不可能出現1111和2222這兩個數，所以用三個數碼2可以組成個不同的四位數，它們是：1222，2122，2212，2221，1122，1212，1221，2112，2121，2211，1112，1211，2111，1121．   70．按百位數字分類討論： ①　　百位數字是8，9時不存在，個數0；　 ②　　百位數字是7，只有789，1個； ③　　百位數字是6，只有679，678，689，共3個； ④　　百位數字是5，有567，568，569，578，579，589，共6個； ⑤　　百位數字是4，有456，457，458，459，467，468，469，478，479，489共10個； ⑥　　百位數字是3時，共15個； ⑦　　百位數字是2時，共21個； ⑧　　百位數字是是1時，共28個。 總計，共1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝80個。   71．后兩位數字相同，只有00，11，22，33，44，55，66，77，88，99這10種可能情形，而每一種相同的末兩位數字相同的數，百位到千位對應著1，2，…，19這19種可能，所以在100－1999這一千九百個自然數中，十位與個位數字相同的共有19×10＝190個。   72．設畢達哥拉斯學校有學生人，則正在學數學的為人，正在學音樂的為人，正休息的為人．依題意列出如列方程： 　　 解得： 人。   73．設丟番圖壽命為歲，則他的童年時期為歲，他的少年時期為歲，又過了生命的七分之一，即歲，兒子年歲為，丟番圖壽命等于各階段年數之和，得 　 解得： ．丟番圖一生活了84歲。     74．設他們有兄弟人，姐妹人，則依題意可列出如下的二元一次方程組 ， 解得 即他們有兄弟4人，姐妹3人。   75．設甲現年歲，乙現年歲，甲比乙大歲。由甲說的前半句話：“我像你這樣大歲數的那年，你的歲數等于我今年歲數的一半”可得 ① 由甲說的后半句話：“當你到我這樣大歲數的時候，我的歲數是你今年歲數的二倍少7”可得　 ② 將①，②聯立，解得　 　所以甲現年28歲，乙現年21歲。   三、解答題： 76．設第1站到第7站上車的乘客依次為： 第2站到第8站下車和乘客依次為： 顯然應有：＝ 已知＝100，＝80， 代入　 100＋　 即 這表明，從前6站上車而在終點站下車的乘客共20個。   77．將分別代入該代數式，得到 由此可得　 　　　將代入第一個和第三個等式中，得 ∴； 　進而得到 將和代入代數式中，得到＝ ；再將代入，得 即當時該代數式的值是     78．設甲的運動速度是 乙的運動速度是，丙的運動速度是．設環形軌道長為L。甲比乙多運動一圈用時50秒，故有－＝　 ① 甲比丙多運動一圈用時40秒，故有－＝　 　　　　② ②－①可得到－＝－＝　　　　　　　　　　 ③ 　　　　　　　④ 　　　　　　　 ⑤ 甲、乙、丙初始位置時，乙、丙之間的距離＝甲、丙之間距離－甲、乙之間距離 ＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用時間＝ ＝秒．所以第110秒時，乙追上丙．   79．由均不為0，知均不為0．又中不能全同號，故必一正二負或一負二正．于是 即 所以中必有兩個同號，另一個符號其相反，即其值為兩個＋1，一個－1或兩個－1，一個＋1． ∴ 　 因此，　   80．已知又已知即存在整數，使得 所以　 由整除性質得