高中數學聯合競賽模擬試題三

高中數學聯合競賽模擬試題三

第一試 一、選擇題（每小題6分，共計36分） 1.定義在(－∞，－2)∪(2，＋∞)上的函數f(x)＝的奇偶性為 A.是奇函數不是偶函數　　　　　　　　　 B.是偶函數不是奇函數 C.既是奇函數又是偶函數　　　　　　　　 D.既不是奇函數又不是偶函數 2.把直線l沿y軸平移sinθ－cosθ(≠0)個單位，再沿x軸平移(＞0)個單位，所得直線與原直線重合，則原直線的斜率為 A.不存在　　　　　 B.　 C.　 D. 3.從正方體的8個頂點中取出3個，使至少有兩個頂點在同一條棱上，其取法數為 A.44　　　　　　　 B.48　　　　　　　 C.50　　　　　　　 D.52 4.對于函數f(x)＝，記f2(x)＝f(f(x))，f3＝f(f2(x))，……，fn(x)＝f(fn－1(x))，又記M為f1998(x)＝x實根的解集，則M為 A.Φ　　　　　　　　 B.R　　　　　　　　 C.單元素集合　　　 D.二元素集合 5.設遞增正數列a1，a2，…，an是分母為60的最簡真分數，則π＝ A.0　　　　　　　　 B.8　　　　　　　　 C.16　　　　　　　 D.30 6.存在x1，x2，…，xn滿足x＋1＝0，且使＝0成立的充要條件是 A.2|n　　　　　　　 B.4|n　　　　　　　 C.6|n　　　　　　　 D.8|n 二、填空題(每小題9分，共計54分) 1.給定遞推數列，若T＝1998是使得xT＋1＝xT＋2＝1的最小正整數，則＝___________. 2.在平面α上有一個△ABC，∠ABC＝105°，AC＝2()，在平面α的兩側各有一點S和T，滿足SA＝SB＝SC＝，TA＝TB＝TC＝5，則ST＝___________. 3.過雙曲線x2－＝1的右焦點作直線L交雙曲線于A、B兩點，若實數λ使得|AB|＝λ的直線L恰有3條，則λ＝_____________. 4.已知函數f(x)、g(x)在R上有定義，且f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，若f⑴＝f⑵≠0，則g⑴＋g(－1)＝___________________. 5.正實數x，y，z滿足，則z＝_____________. 6.一副橋牌有52張牌，將其排成一橫行，任意兩張A都不相鄰的排列數為____________.   三、(20分)將一個10×16的矩形鐵皮，從四個角上各建取一個邊長為x的正方形(0＜x＜5)，然后做成一個無蓋的長方體容器. ⑴寫出容器的容積y與x的函數關系式； ⑵求y的最大值，并求相應的x的值.         四、(20分)對于α、β∈[0，2π)，記x＝sinα＋sinβ，y＝cosα＋cosβ，求直角坐標系上點(x，y)的軌跡.       五、(20分)求證：對于任給的正數a，必存在一個自然數N，使每一個大于N的自然數n都有惟一的自然數f(n)，滿足.           第二試   一、（50分）作兩個不等圓⊙O1，⊙Q2的四條公切線，如圖，點A為兩外公切線的交點，點D為兩內公切線的交點，點B，C，E，F是兩類公切線的交點，記A1，B1，C1分別為BC，CA，AB的中點，若EF與A1B1交于B2，與A1C1交于C2，求證：B1，C1，C2，B2共圓.                   二、（50分）設有兩組正數：0＜x1≤x2≤x3≤……≤xn＜1，0＜y1≤y2≤y3≤……≤yn， 求證：     三、（50分）設Sn＝{1，2，……，n}(n≥5)，取XSn，YSn(X，Y無順序)，若XY或YX，則稱X，Y為一對“包含子集對”，否則稱為“非包含子集對”，問Sn中是“包含子集對”多還是“非包含子集對”多？證明你的結論。