第四屆北京高中數學知識應用競賽試題及參考答案

第四屆北京高中數學知識應用競賽試題及參考答案

試 題 1、（滿分20分）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續向前沒行一段距離才能停住。我們稱這段距離為“剎車距離”。剎車距離是分析事故的一個重要的因素。在一個限速為40千米/時的路段上，先后有A、B兩輛汽車發生交通事故。事故后，交通警察現場測得A車的剎車距離超過12米，不足15米，B車的剎車距離超過11米，不足12米。又知A、B兩種車型的剎車距離S（米）與車速x（千米/時）之間有如下關系： 如果僅僅考慮汽車的車速因素，哪輛車應負責任？ 　 2.（滿分20分）北京電視臺每星期六晚播出《東芝動物樂園》，在這個節目中曾經有這樣一個搶答題：小晰蜴體長15cm，體重15g,問：當小晰蜴長到體長為20cm時，它的體重大約是多少（選擇答案：20g,25g,35g,40g）?嘗試用數學分析出合理的解答。 3. （滿分20分）受日月的引力，海水會發生漲落，這種現象叫做潮汐。在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋。下面是某港口順某季節每天的時間與水深關系表： 時刻 水深（米） 時刻 水深（米） 時刻 水深（米） 0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.4 1:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.9 2:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.9 3:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.4 4:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.3 5:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.5 6:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.7 7:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8 (1)請在坐標紙上，根據表中的數據，用連續曲線描出時間與水深關系的函數圖像； （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規定至少要有1.5的安全間隙（船底與洋底的距離），問該船何時能進入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？   　　 4．（滿分20分）2000年末，某商家迎來店慶，為了吸引顧客，采取“滿一百送二十，連環送”的酬賓方式，即顧客在店內花錢滿100元（這100元可以是現金，也可是獎勵券，或二者合計），就送20元獎勵券；滿200元，就送40元獎勵券，滿300元，就送60元獎勵券；...。當日，花錢最多的一顧客用現金70000元，如果按照酬賓方式，他最多能得到多少優惠呢？相當于商家打了幾折銷售？ 　　 5．（滿分20分）某城市準備舉行書畫展覽，為了保證展品安全，展覽的保衛部門準備安排保安員值班。情況如下： ①展覽大廳是長方形，內設均勻頒的m×n個長方形展區，如圖所示（下圖是一個3×4個展區的示意圖）。在展廳中，展覽的書畫被掛在每個展區的外墻上，參觀者在通道上瀏覽書畫。 ② 保安員站在固定的位置上，不允許轉身，只能監視他的左右兩側和正前方，形如“T”形的區域。且一個保安員的正前方不安排其它保安員。 ③ 不考慮保安員的輪崗、換班問題。 ④ 展口的安全意味著每一個展區的四面外墻都在保安員的監視范圍內。 問題：（1）對于如上圖所示的展廳中，最少需要幾個保安員能使展品安全？在圖中標明保安員的位置（不要求證明）。 （2） 假如展要有n×m個展區，最少需要多少個保安員能使展品安全？請證明你的結論。   競賽參考答案 　 1.解法一： 由題意得這兩輛汽車的剎車距離分別滿足如下的關系式： 　　 12<<15， 　　 11<<12， 分別求解這兩個不等式，得 　 30<<<35， 　 12<<<<45. 可見，A車無責任，B車應付責任。 　 解法二：如果==40km/h，則可以算得=20m,=10m。由于A車實際剎車距離沒有超過它按限速行駛的剎車距離=20m；而B車實際剎車距離超過了它按限速行駛時的剎車距離=10m。 可見A車無責任，B車應付責任。 2.解：假設小晰蜴從15cm長到20cm，體形是相似的。這時晰蜴的體重正比于它的 體積，而體積與體長的立方成正比。 　 記體長為l的晰蜴的體重為，因此有 　 合理的答案應該是35g。 3.解：（1）描點作圖，設x表示時間，y表示水深。 　　 （2）由題目條件，水深至少為5.5米時才能保證貨船駛入港口的安全。為此在上圖中做一條y=5.5的水平直線a。圖象在a止方時，其對應的x范圍為貨船駛入港口的安全時間段，從圖中可以看出，這個時間段約為0:30到5:40分，或13:00到18:20（有10分鐘左右的偏差可以算對），在港口停留的時間大約為5小時。 　 也可以用線性插值方法，在已知點中，若相鄰兩點在直線a的異側，設加在它們中間且過直線a的點與它們共線。于是 　 利用點（0，5）和（1，6.2），得=（5.5-5）/（6.2-5）=0.417，對應的時間為0:25；利用點（5，6.5）和（6，5.3），得=5.83，對應的時間為5:50。由此得到第一個滿足條件的時間段約為0:25-5:50。 　 同理，利用點（12,4.4）和(13,5.6)，得=12.92,對應的時間為12:55；利用點（18,5.9）和(19,4.4)，得=18.27，對應的時間為18:16。由此得到第二個滿足條件的時間段約為12:55-18:16。 　 （3）2:00時水深為7.1米，船需要的安全水深隨著卸貨時間的變化公式為： y=5.5-0.3(x-2); 　　 其中2<x<5.83，此處利用了插值的結果。在上面的函數圖象中畫出該圖象，看出與原圖象的交點大約在7:00左右（有10分鐘左右上午偏差可以算正確），故知在7:00以前該貨船一定要離開碼頭駛到較深的安全水域。 　 注： 此處也可利用(6,5.3),(7,4.1)做線性插值，得y=-1.2x+12.5與y=5.5-0.(x-2),聯立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做線性插值，得y=-x+11.1與y=5.5-0.3(x-2)聯立可求得x=7,即7:00.這些做法與看圖得到的結果一致。 　 　 4.解：購物價值=所用人民幣值+優惠值，將最多購物價值記作。 　　　　　　按下列方法購物 　　　第一次用現金購物70000元，獲得獎勵券70000×12%=14000（元）； 　　　　第二次用現金購物14000元，獲得獎勵券14000×20%=2800（元）； 　　　　 第三次用現金購物2800元，獲得獎勵券2800×20%=560（元）； 　　　　 第四次用現金購物500元，獲得獎勵券500×20%=100（元）； 　　　　第五次用現金購物100元，獲得獎勵券100×20%=20（元）； 　　　　第六次用現金購物80元，獲得獎勵券80（60+20），獲得獎勵券0元。 　　　　至此，現金及獎勵券全部用完，共計購物（記作a）a=70000+14000+2800+500+100+80=87480(元)。而=80。018%，近似于八折。 　　　　下面證明=a. 　　　　設分k次將70000花掉，第i次購物獲得的獎勵券為元，剩下的錢為元（不包括第i次獲得的獎勵券）。則0≤≤,并可依次得=（70000-）20%≤14000；=(7000-)20%+[(7000-)20%+-]20%=70000 20%+70000--20%; 　　　　 =70000 20%+70000 -(20%)2-20%+{[70000-)20%+-]20%+-}20% 　　　　　　　　　　　 =70000 20%+70000 +70000 ---20%; 　　　一般地=70000 20%+70000 +...+70000 --···--20%， 　　 即<70000 [20%+++···+]<17500。 　　　則總共購物價值為70000+<70000+17500=87500. 　　　即=87480元。接近八折。 　 5.解：（1）對如圖所示的3×4個展區，至少要5個保安員才能保證展覽的書畫是安全的。 　　 保安員站位的方案有多種，其中一個如下圖所示： 　　　　　　（2）對n×m個展區，至少要m+n-2個保安員才能保證展覽的書畫是安全的。 　　　　 證明：我們把模型進行抽象，把n×m 個展區抽象成一個n×m“格陣”，它有n+m+2條邊（對應待監視的走廊），且用字母標記如下： 　　　　 由于保安員監視范圍是“T”型區域，所以稱保安員的位置對慶的“格隈”中的格點為“T形點。” 　　　 這樣，我們把一個實際問題轉化為一個數學模型：在n×m“格陣”中至少取幾個“T”形點能夠用這些T形區域覆蓋n×m“格陣”的全部n+m+2條邊。 　　　 首先，“T”型點放在n×m“格陣”的外邊框的格點上才能發揮最大作用，覆蓋兩條邊。否則，如果在中間某一格點處放一“T”形點P，那么這一“T”形點P的另一邊的一部分，而另一部分還需要另外的“T”形點去覆蓋，這樣P“T”形點相當于只覆蓋了一條邊。 　　　 此外，在n×m“格陣”的邊界格點上，當有了一個“T”形點時，如果在此邊界上再放入第二個，它所在的邊界已不需要它覆蓋，那么這個“T”形點相當于覆蓋了一條邊。由于n×m“格陣”只有4條邊界，所以“T”形點多于4個時，其中4個覆蓋兩條邊，其余的只相當于覆蓋一條邊。因為這“其余的”不是被放在中間的格點上，就是被放在已有一個“T”形點的邊界上，n×m“格陣”共有m+n+2條邊，所以至少需“T”形點（m+n+2）-4個，即m+n-2個。 　　 另外，也的確有如下的辦法用m+n-2個“T”形點控制n×m“格陣”的m+n+2條邊。 　 在處放4個“T”形點，它們可以控制8條邊。 　　 再在，這n-3個位置上放n-3個“T”形點，它們可以覆蓋不同于前面的n-3條橫向邊。 　 再在，這n-3個位置上放m-3個“T”形點，它們可以覆蓋不同于前面的m-3條縱向邊。 　 總計覆蓋了8+(n-3)+(m-3)條不同的的邊，也就是整個n×m“格陣”。