數學科普：常識性謬誤流傳令人憂

　　2000年，曾被國際數學聯盟定為“世界數學年”，其主要宗旨在于“使數學及其對世界的意義被社會所了解，特別是被普通公眾所了解”.這就把數學普及工作放到了一個顯著的位置上.然而，我國在這方面的工作似乎很難樂觀.正如胡作玄老師在《數學上未解的難題》一書中指出的：“本來就相當荒蕪的數學科普領域，充斥著許多東拼西湊的假冒偽劣產品，有的人在抄的方面都不負責任，其結果是錯誤百出，誤導讀者.”誠如胡老師所言！錯誤事實不斷誤用的現象在數學科普界確實普遍存在著.下面舉出幾個較為典型的例證.
　　
　　疏率、約率、密率、祖率
　　
　　中國南北朝時期的著名數學家祖沖之曾得到與圓周率有關的兩項重要成果.其一，他算得圓周率介于3.1415926與3.1415927之間.其二，他用兩個分數22/7與355/113近似表示圓周率.與此相關的，出現了表示這幾個數值的稱法，但隨之也出現了一些誤稱.舉幾例如下：
　　
　　胡作玄編著的《數學上未解的難題》一書12頁：
　　
　　他（祖沖之）計算的π值介于疏率和密率之間，即：22/7＜π＜355/113
　　
　　可見，胡作玄先生是把22/7稱作了疏率.
　　
　　任現淼編著的《趣味數學365天》144頁：
　　
　　π的疏率22/7和密率355/113.密率又稱祖率.
　　
　　楊世明與王雪芹著《數學發(fā)現的藝術》一書144頁也把22/7稱為疏率.
　　
　　但關于疏率的稱法是錯誤的.對這一錯誤的來龍去脈梁宗巨《數學歷史典故》一書240頁有清楚地探討，茲引文如下：
　　
　　22/7明明寫的是“約率”，但相當多的文章卻誤寫成“疏率”，這可能出版一個偶然的印刷錯誤（或筆誤）.如章克標《算學的故事》（開明書店，1935）P140正確地寫成約率，但在P201上卻誤寫成疏率.1951年2月10日《人民日報》3版發(fā)表華羅庚《數學是我國人民所擅長的學科》……文中提到“（祖沖之）用22/7及355/113做疏率和密率”……后來大量的書刊沿用了“疏率”這個名稱.其實華羅庚在《從祖沖之的圓周率談起》（1962年6月）一書中早已將這種叫法改正過來，并把《隋書》的原文列在書前，又在密率和約率的下面加上重點，以引起注意.然而直到最近還有人墨守疏率這個不正確的名稱.
　　
　　梁宗巨的這一段話已經把疏率問題解釋得非常清楚了.
　　
　　但對于祖率問題卻還存在一些疑問.
　　
　　在同一本書的241、242頁，梁宗巨先生探討了祖率問題，并指出“祖率”應該是指祖沖之的密率.
　　
　　解恩澤、徐本順主編的《世界數學家思想方法》一書157頁：
　　
　　故日本數學大學家三上義夫在1912年提出應稱π＝355/113為“祖率”.
　　
　　但沈康身《中算導論》387頁認為
　　
　　祖沖之“算學功績甚偉大，在劉宋之末，已于其《綴術》中記載圓周率算定之事，予在《中日算學發(fā)達史》言此率
　　
　　3.1415926＜π＜3.1415927
　　
　　稱祖率為適當.”
　　
　　由此可見，“祖率”之稱來自于日本數學史家三上義夫是確切無誤的.但究竟他所指的祖率是否等同于密率，所需要的是查看他的原文.可惜我手中沒有原始資料，無法對這一問題做出結論.這種澄清有賴于手中有此材料的同志了.
　　
　　萊布尼茲、二進制、《易經》
　　
　　《中華讀書報》第338期曾有一專版用了一版的篇幅評一套叢書《中國人的智慧叢書》.但書評中卻出現了一些常識性的錯誤.如書評中有一段：
　　
　　“值得注意的是，外國人賴以建立的種種基本發(fā)明，大都源于中國，……就是現代計算機的二進制，也來自于中國的八卦，因為八卦的陰陽爻可以組成64種符號，而二進制恰好對應于現代計算機的電路通斷.因為仰慕中國的古代文化，萊布尼茲把一臺計算機送給了康熙皇帝.”
　　
　　由于這一套叢書我沒有見到，所以不知上述說法是書中存在的抑或是書評者自己的觀點.但可以肯定的是，現代計算機的二進制來自于中國的八卦，早已被證明是一個神話.對這一錯誤，郭書春在《古代世界數學泰斗劉徽》一書461頁指出：
　　
　　國內有所謂《周易》創(chuàng)造了二進制的說法，至于萊布尼茲受《周易》八卦的影響創(chuàng)造二進制并用于計算機的神話，更是廣為流傳.幾年前，這個神話還被人用來作為否定取消基礎理論科學研究的根據.事實是，萊布尼茲先發(fā)明了二進制，后來才看到傳教士帶回的宋代學者重新編排的《周易》八卦，并發(fā)現八卦可以用他的二進制來解釋.
　　
　　梁宗巨著《數學歷史典故》一書14～18頁對這一歷史公案有更加詳盡考察，想進一步了解者可參考.
　　
　　三環(huán)親和數鏈
　　
　　所謂親和數是指一對數，每一個數的所有真因子之和都恰等于另一個數.如220與284就是最早發(fā)現的一對親和數.后來，親和數又被推廣到親和數鏈.一個親和數鏈滿足：第一個數的所有真因子之和等于第二個數；第二個數的所有真因子之和等于第三個數，依此類推，最后一個數的所有真因子之和等于第一個數.現在所發(fā)現的最大的親和數鏈有28個數組成，但是有沒有三環(huán)親和數鏈呢？
　　
　　賈慶祥《漫游自然數王國》一書17頁：
　　
　　不過，奇怪的是，至今還沒有發(fā)現三環(huán)親和數鏈.難道在自然數王國里不存在“劉、關、張?zhí)覉@三結義”嗎？
　　
　　任現淼編著的《趣味數學365天》87頁：
　　
　　恰好有三個“環(huán)”的親和數鏈稱為“伙”（Crowd），目前尚未發(fā)現“伙”.
　　
　　在王志雄著《數學美食城》一書695頁也指出：
　　
　　至今，我們還沒有發(fā)現親和3數圈.
　　
　　到底現在有沒有發(fā)現三環(huán)親和數鏈呢？
　　
　　英國人西蒙·辛格著，薛密譯的《費馬大定理》一書第57頁給出了一個三元數組：1945330728960；2324196638720；2615631953920；書中指出這個三元數組中“第一個數的因數加起來等于第二個數，第二個數的因數加起來等于第三個數，而第三個數和因數加起來等于第一個數.”因而這三個數恰好構成了一個三環(huán)親和數鏈.
　　
　　順便指出一點，該書的這一頁中說“1866年，60歲的意大利人尼科洛·帕格尼尼發(fā)現了這一對親和數1184和1210”.這里不知是譯者的錯誤，還是印刷的錯誤：60歲應為16歲.
　　
　　克萊因瓶問題
　　
　　談祥柏先生作為數學科普名家，著述很多.但在他的作品中，也存在著某些疏漏之處.在他著的《數學廣角鏡》一書115、118、119頁寫道：
　　
　　事實上，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物克萊因瓶.……這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什么地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西.
　　
　　盡管現代玻璃工業(yè)已經發(fā)展得非常先進……但是，所謂的“克萊因瓶”，卻始終是大數學家克萊因先生腦子里頭的“虛構物”，根本制造不出來.
　　
　　……許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物.然而，等待他們的是一個失敗接著一個失敗.
　　
　　……也有人認為，即使造不出玻璃制品，能造出一個紙模型也不錯呀.如果真的解決了這個問題，那可是個大收獲��！
　　
　　但實際上，克萊因瓶已經被人制造出來了.在郭凱聲等編著的《數學游戲》（下）一書的“玻璃克萊因瓶”一文中有清楚的介紹.茲引錄部分如下：
　　
　　AlanBennett是英國貝德福德的一位玻璃吹制工.幾年前，他開始對拓撲學中出現的各種神秘的形狀——墨比烏斯帶、克萊因瓶等等——發(fā)生興趣，并遇到了一個新奇的難題，數學家本會通過計算來嘗試解決這個難題，而Bennett則用玻璃解決了它.他做出的一系列引人注目的物品很快就將成為倫敦科學博物館中的一項永久性陳列品.（見書的第9頁）
　　
　　彩圖1示出了Bennett吹出的一個玻璃克萊因瓶.（見書的第10頁）
　　
　　在書174頁之后附的彩圖1給出了他用玻璃吹制出的只有一個面的表面的克萊因瓶，并且還有一些其它種類的克萊因瓶.
　　
　　在吳文俊主編的《中國數學史大學》第一卷中曾專門分析了各種數學圖書中的錯誤出現以及流傳的原因.
　　
　　書中指出“引用的資料一定要可靠，要做到可靠必須親自過目每一項資料.不親自查閱所引用的資料，往往要出問題，即使查閱了還要弄懂，引用時也不要斷章取義……還有更糟的研究者，他們只是想當然地下了結論，根本沒去找資料.例如前面提到的那個關于2500年前中國人驗證過當a＝2時費馬定理的逆定理的例子，是由于引申在西方造成了錯誤，長期來互相引用，但是沒有人去核實資料，以致到不久前仍在著作中出現.嚴敦杰早已指出了這個問題以及造成錯誤的根源，大約是由于文字的關系，在西方沒有起到應有的作用.”
　　
　　最后這一段話還指出錯誤流傳的主要原因：許多寫作者在引用別人的東西時，沒有去核實資料.這既有寫作者態(tài)度不夠嚴謹的因素，也與相關的資料查找困難有關.而信息不暢通也是一些錯誤得以繼續(xù)流傳的重要因素（胡作玄、談祥柏等寫作態(tài)度嚴謹的作者的疏漏恐怕更多要歸因于后者吧）.而問題的嚴重性更在于一些錯誤只要在一本科普書上出現，很快就能蔓延開來，造成星火燎原之勢.尤其是當最初的錯誤出自于名家之手時，情況更是如此.如何能夠避免這種以訛傳訛的局面呢？一個念頭進入我的心頭：憑貴刊的影響力，如果能開辟一個小的版面，做《咬文嚼字》那樣的工作，或許會有助于情況的轉變吧！
　　
　　正是出于這一想法，有了這篇拋磚引玉之文.若能引起數學科普工作者的關注與討論，從而有益于上述情況的轉變，有益于數學科普事業(yè)的良性發(fā)展，那將是我真誠期望的.