走向無窮大及其之外

　　“無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個其他觀點都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清……”
　　
　　有一個故事據說出自杰出的數學家大衛·希爾伯特之口，上述引語就是他說的。一天夜里已經很晚了，一個人走進一家旅館想要一個房間。店主回答說：“對不起，我們沒有任何空位子了，但是讓我們看一看，或許我最終能為您找到一個房間。”然后店主離開了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且請他們換一換房間：1號房間的房客搬到了2號房間，2號房間的房客搬到了3號房間，以此類推直到每一位房客都從一個房間搬到了下一個房間為止。令這位遲來者感到十分吃驚的是，1號房間竟然被騰了出來。很很高興地搬了進去，然后安頓下來過夜。但是，一個百思不得其解的問題使他無法入睡：為什么僅僅通過讓房客從一個房間搬到另一個房間，第一個房間就能騰出來呢？(要知道，他來時所有的房間都人了。)后來我們的這位客人漸漸地找到了答案：這所旅館一定是希爾伯特的旅館，它是城里一個據認為有無數個房間的旅館！通過使所有房客都從一個房間搬到另一個房間，1號房間便被騰了出來。
　　
　　這個著名的軼事在某種程度上講出了無窮大的全部故事。這個故事所涉及的引起人們好奇的悖論和看似不可能的情況，曾使人類困惑了兩千余年。這些悖論都源自數學，而且正是這門學科為最后解決這些悖論提供了最成功的途徑。對無窮大的澄清和非神秘化僅僅是在本世紀才全部完成的，而且即使是這種功績也不能說是登峰造極。與各門學科一樣，數學的周圍也有一種因不完事而帶來的清爽空氣；一種神秘剛被破解，另一咱新的神秘早已滲入其中。得到對科學的絕對的和最終的理解，是一個難以捉摸的目標，然而正是這種難以捉摸才使得對任何一個科學領域的研究都那么富有刺激性，當然數學也不例外。
　　
　　很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學家們就一條線段(或者就任何數量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是可以最終得到一個不可分割的點(即“原子”)等問題，展開了無休止的爭論。他們的現代追隨者——物理學家們今天仍然還在設法解決同一個問題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”——那些構成整個宇宙的基本磚塊。天文學家一直在從另一個極端的——無限廣闊的——尺度上思索著無窮大問題。我們的宇宙真像它所呈現在任何于晴朗的黑夜觀看天空的人們面前那樣無窮無盡，或是它有一個邊界(在這個邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對我們常識的一種挑戰。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠也到不了“邊”，這個事實不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當研究無窮大時，“常識”是一個非常差勁的向導！
　　
　　藝術家也對無窮大進行了研究，他們在畫布上以線條描繪出了無窮大，而這些畫布和線條成了寶貴的藝術財富。……但是不管我們用什么方法考察無窮大，我們最終都被帶回到數學領域，因為正是在這里才有無窮大概念最深的根基。一種觀點認為數學就是關于無窮大的科學。
　　
　　我第一次遇到無窮大時還是個小男孩。別人給了我一本書，這本書是猶太教法典中的傳說部分，講的是出埃及記的故事。書的封面上是一幅畫，畫中的一個小男孩手中拿著一本與該書相同的書。當我他細看時，可以看到在小男孩拿的那本小書的封面上還是相同的畫�？赡苓@幅畫又出現在畫中的畫里面——我記不太清楚了。但是我確實記得，當時我頭腦中的那個想法就是：如果有可能繼續這一過程，那么它將永遠繼續下去！這種可能性十分有趣；當時我還不知道，一個那時還不太出名的荷蘭畫家毛里茨·C·埃舍爾已對這種觀念很著迷，并且在他的作品中把這種觀念表達了出來，從而把這個過程實話到使用繪畫工具能夠達到的最大限度。
　　
　　在本書中，我將試圖與讀者分享無窮大給所有時代的人們所帶來的興奮和敬畏。書名《無窮之旅》，其原意是“走向無窮大及其之外”，取自一本望遠鏡說明書，它列出了這臺儀器的很多性能，其中包括如下內容：“您的望遠鏡的聚焦范圍從十五英尺到無窮大及其之外。”正如本書的副標題“關于無窮大的文化史”所顯示的那樣，我的目的是說明無窮大在各個時期的故事，但不是一定按照一個嚴格的時間順序。我講的故事在很大程度上是一個學科的故事——故事是從一個數學家的角度講述的。這就意味著我必須面對每一個科學家在為受過教育的外行寫書時所面臨的同一種困境：如何在兼顧他的同行希望他應堅持的嚴謹標準的同時，用外行能夠理解的語文表達作者的意思。這種困境在數學中尤其嚴重，因為數學幾乎完全依賴于符號和方程的非文字語言。我希望我在以適當的方法解決這個問題方面是成功的。