分類與討論

1.       分類討論的規則

解題總是在一定的范圍(論域)進行的.解題中有時要將題目條件包含的全體對象分成若干類,然后逐類討論,才能得出正確的解答.因此,分類討論是數學解題中的一個重要內容.

(1)    分類的規則  分類時首先要明確分類的對象和分類的標準.有時還要對第一次分出的各類進行再分類,這就是第二級分類,類似地有第三級分類、第四級分類、……，這種進行多次分類的現象叫做連續分類.合理的分類不但是正確解題的基礎，而且是簡捷解題的出發點.

分類的原則是：不重不漏，即每一個題設包含的對象都必須在而且只在所分的一類中.為此，分類時必須做到：

①     一次分類只按一個標準進行；

②     連續分類按層次逐級進行.

（2）枚舉和討論  解決需要討論的問題的方法是枚舉，枚舉的基礎是正確分類.

例1          求出所有的自然數n，使三個整數n，n+8，n+16都為質數.

解  現將所有自然數n按模為3的剩余類分成三類：

n=3k，3k+1，3k+2.

當n=3k時，只有k=1時，三個整數（3，11，19）都是質數；

當n=3k+1時，n+8=3k+1+8=3（k+3）不是質數；

當n=3k+2時，n+16=3k+2+16=3（k+6）不是質數.

所以滿足題設的自然數只有一個3.

2．分類討論舉例

下面我們用分類討論的思想方法來解決一些國內外數學競賽問題.

例2          （第4屆加拿大中學生競賽題）設a和n是相異的實數，證明存在整數m和n使得am+bn＜0，bm+an＞0.

證明  既然a，b為相異實數，那么必有a-b＜0或a-b＞0.

當a-b＜0時，就取m=1，n=-1，驗證和滿足所給不等式；

當a-b＞0時，就取m=-1，n=1，顯然也滿足所給不等式.

例3          （1956年上海市競賽題）從1到100這一百個自然數中，每次取2個，要它們的和大于100，有多少種取法？

解  因為每次所取的兩數不等，所以可以按較大（或較小）的數的取值來分類考慮：

較大的數取100時，另一數有99種取法；

較大的數取99時，另一數有97種取法；

……

較大的數取51時，另一數有一種取法；而50以下的任何兩數都不能組成符合條件的數對，故共有1+3+5…+97+99=2500種取法.

按照某個確定的自然數為模的剩余類分類是數學競賽中經常出現的問題之一.

例4          求證：從任意n個整數a₁，a₂，…，a_n中，一定可以找到若干個數，使它們的和可被n整除.

證明  考察如下的n個和，a₁，a₁+a₂，a₁+a₂+a₃，…，a₁+a₂+…+a_n.

若其中至少有一個能被n的整除，則結論成立；

若其中沒有一個能被n整除；則將他們按模n的剩余類至多可分為余數為1，余數為2，…，余數為n-1的n-1個類.因此,這幾個整數中至少有兩個整數a₁+a₂+…+ak和a₁+a₂+a₃+a_k+…+a_l（l＞k）對模n有相同的余數.

這時和數a_k+1+…+a_l=（a₁+a₂+…+a_k+…+a₁）-（a₁+a₂+…+a_k）顯然可被n整除，即結論成立.

說明：本例通過分類制造“抽屜”，體現了分類思想有“抽屜原則”的完美結合.

在給定的幾何條件下，由于圖形的形狀或位置不同含有不同的結果或需用不同的方法處理，這就引出了幾何中的分類討論問題.

例5  （1989年武漢、廣州等五市初中數學聯賽題）△ABC中，∠C=，BM是中線，AC=2a，若沿BM將三角形對折起來，那個兩個小三角形ABM和BCM重疊部分的面積恰好等于△ABC面積的四分之一.試求△ABC的面積.

解①若原三角形中，∠ABM＞∠CBM，則對折后如圖28-1，其中是對折后C點所落位置，△BMD是重疊部分.依題意得

∴即D為AM的中點.

又

∴D是BC的中點.

由∠ADB=∠MD知，△ABD≌△MD，∴AB=M=CM=.而∠ACB=，∴∠ABC=.

由AC=2a，可得AB=a，BC=

∴

（2）若原三角形中∠ABM＜∠CBM，對折后如圖28-2.如上證明，可得D為AB，M的中點.

∴于是BC=B=a.

過B作△ABC的高BE.∵∠ACB=，

∴

∴  

（3）顯然，∠ABM=∠CBM不合題意.

列6 設一條曲線的兩端在單位正方形的周界上；并且這條曲線將正方形分成面積相等的兩部分.證明這條曲線的長度不小于1.

證明  （如圖28-3）設曲線PQ分正方形ABCD為面積相等的兩部分S₁，S₂.又M、N、E、F分別為正方形的邊的中點.因的面積，故曲線PQ與線段MN、EF、AC、BD必各至少有一個公共點.現按P、Q的位置來分類討論.

不失一般性，不妨設P在AB上，這時，

①     Q在對邊CD上（圖28-4）.如上所述,曲線PQ與MN至少有一公共點(設為R),則PQ=PR+RQ≥PR+RQ≥MR+RN=MN=1，此時結論正確.

②     Q在AB上（圖28-5）.設曲線PQ與線段EF的一個公共點為R.以EF為對稱軸作出PR的對稱圖形，則曲線PQ與曲線等長.由①知≥1，故PQ≥1，此時結論也正確.

③     Q在鄰邊BC或AD之一上（圖28-6）.令曲線PQ與AC的一個公共點為R，以AC為對稱軸作出RQ的對稱圖形，則曲線PQ與等長.由①知，此時結論亦成立.

綜上述，對符合條件的任意位置的P、Q均有所述結論.

練習二十八

1．  選擇題

（1）如果a、b為不超過10的自然數，那么能使方程ax=b的解大于而小于的a、b有（   ）.

（A）      五組  （B）四組 （C）三組  （D）兩組

（2）（1984年重慶初中競賽題）如果α、β、γ是三角形三內角，x=α+β，y=β+γ，z=γ+α，那么x，y，z中銳角個數的錯誤判斷應是（   ）.

（A）      可能沒有銳角  （B）可能有一個銳角

（C）可能有兩個銳角  （D）最多有一個銳角

（3）（1978年重慶競賽題）a、b、c是三角形三邊，由a-b＜c可導出（   ）.

（A）＜c²（B）a²-b²＞c²（C）a²-b²=c²（D）以上結論都不對

2．（1989年吉林初中預選賽試題）已知n（n≥2）個相異自然數的和與積相等，求此n的值及n個自然數.

3．（第4屆加拿大中學生競賽試題）證明方程x³+11³=y³沒有x   和y的正整數解.

4．（1983年上海初中競賽題）已知△ABC中∠B為銳角.從頂點A向邊BC或它的延長線引垂線，交BC于H，又從頂點C向邊AB或它的延長線引垂線交AB于K點.試問當2BH：BC、2BK：BA是整數時，△ABC是怎樣三角形？證明你的結論.

5.(1984年西安初中競賽題)求證n⁵-n可被30整除(n∈整數).

6．（1978年重慶競賽題）設△ABC中，AB=AC，P為該三角形內一點，且∠APB＞∠APC.用間接證法證明:∠BAP＜∠CAP.

7．（1957年上海競賽題）設自然數62αβ427為99的倍數，求α、β.

8．（莫斯科比賽大會預習題）求多項式x²+βx+q的使它在區間[-1，1]上的絕對值為極大值的最小值.

9．證明內接平行四邊形的三角形的面積不可能大于這個平行四邊形面積的一半.

10．（第7屆加拿大中學競賽題）對每個實數γ，[γ]表示小于或等于γ的最大整數，例如[6]=6，[π]=3，[-1.5]=-2.在（x，y）平面上指出滿足[x]²+[y]²=4的一切點（x，y）.