因式分解
2009-08-31 11:17:21網(wǎng)絡(luò)來(lái)源
因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們?cè)诔踔薪滩囊呀?jīng)介紹過(guò)基本方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合競(jìng)賽再補(bǔ)充介紹添項(xiàng)、拆項(xiàng)法，待定系數(shù)法、換元法、對(duì)稱式的分解等有關(guān)內(nèi)容和方法.
1.添項(xiàng).拆項(xiàng)法
添項(xiàng)、拆項(xiàng)的目的是在各項(xiàng)間制造公因式或便于利用公式分解因式，解題時(shí)要注意觀察分析題目的特點(diǎn).
例1（1986年揚(yáng)州初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）分解因式
（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
例2（第11屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：具有如下性質(zhì)的自然數(shù)a有無(wú)窮多個(gè)，對(duì)于任意的自然數(shù)m.z=n4+a都不是素?cái)?shù).
證明設(shè)a=4k4（k為大于1的自然數(shù)），則
z=n4+a
=n4+4k4
=n4+4n2k2+4k4-4n2k2
=(n2+2k2)2-4n2k2
=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)
=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2].①
∵k為大于1的自然數(shù)，
∴(n+k)2+k2＞1,(n-k)2+k2＞1
故①的右邊兩個(gè)因子都大于1，故當(dāng)k＞1時(shí)，z是合數(shù).
由于大于1的自然數(shù)k有無(wú)窮多個(gè)，故有無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)a，使n4+a對(duì)一切自然數(shù)n總非素?cái)?shù)
2.待定系數(shù)法
若兩多項(xiàng)式f(x)=g(x)，則它們同次的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)一定相等，利用這條結(jié)論可將某些因式分解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組的問(wèn)題來(lái)解決.
例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
解由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可設(shè)
3x2+5xy-2y2+x+9y-4
=(3x-y+a)(x+2y+b)
=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.
①②③
比較兩邊系數(shù)得
由①,②聯(lián)立得a=4,b=-1,代入③式適合.
∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).
例4(1963年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知多項(xiàng)式x3+bx2+cx+d的系數(shù)都是整數(shù),若bd+cd是奇數(shù),,證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.
證明設(shè)
x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)
=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr
(其中p、q、r均為整數(shù))
比較兩邊系數(shù)得pr=d.
又bd+cd=d(b+c)是奇數(shù),故b+c與d均為奇數(shù),那么pr也是奇數(shù),即p與r也是奇數(shù).今以x=1代入(因?yàn)樗呛愕仁?得
1+b+c+d=(1+p)(1+q+r).①
∵b+c,d為奇數(shù),∴1+b+c+d也為奇數(shù),而p為奇數(shù),∴1+p為偶數(shù).
∴(1+p)(1+q+r)為偶數(shù).這說(shuō)明等式①的左端為奇數(shù),右端為偶數(shù),這是不可能的.
所以,所述多項(xiàng)式不能分解成兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.
3.換元法
例5分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120
令x2+5x=A,代入上式,得
原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96
=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)
例6證明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必為完全平方數(shù)
解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2
∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1為完全平方數(shù).
說(shuō)明:這里未設(shè)新元,但在思想上把a(bǔ)2+3a看作一個(gè)新元素.
4.對(duì)稱式的因式分解
在一個(gè)含有若干個(gè)元的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)元的位置,多項(xiàng)式不變,這樣的多項(xiàng)式叫做對(duì)稱多項(xiàng)式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析這是一個(gè)二元對(duì)稱式,二元對(duì)稱式的基本對(duì)稱式是x+y,xy任何二元對(duì)稱多項(xiàng)式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對(duì)稱多項(xiàng)式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項(xiàng)式稱為關(guān)于a、b、c的輪換對(duì)稱式，輪換對(duì)稱式的因式分解，用因式定理及待定系數(shù)法比較簡(jiǎn)單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號(hào)f(x)、f(a)如對(duì)一元多項(xiàng)式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當(dāng)x=a時(shí)多項(xiàng)式的值，如x=1時(shí)多項(xiàng)式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理如果x=a時(shí)多項(xiàng)式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多項(xiàng)式f(x)=3x2-5x-2,當(dāng)x=2時(shí),f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實(shí)上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
證明設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,則
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
對(duì)于多元多項(xiàng)式,在使用因式定理時(shí)可以確定一個(gè)主元,而將其它的元看成確定的數(shù)來(lái)處理.
現(xiàn)在我們用因式定理來(lái)解例8.
解這是一個(gè)含有a、b、c三個(gè)字母的三次多項(xiàng)式，現(xiàn)以a為主元，設(shè)f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當(dāng)a=b和a=c時(shí)，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項(xiàng)式的因式，而視b為主元時(shí)，同理可知b-c也是多項(xiàng)式的因式，而三次多項(xiàng)式至多有三個(gè)因式故可設(shè)a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定系數(shù)，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析這是一個(gè)關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項(xiàng)式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項(xiàng)式的三個(gè)因式，而四次多項(xiàng)式還有一個(gè)因式，由輪換對(duì)稱性可知這個(gè)一次因式應(yīng)是a+b+c，故可設(shè)a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定系數(shù)），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
因式定理使用得更多的還是一元n次多項(xiàng)式的因式分解.
例10（1985年武漢市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明：2x+3為多項(xiàng)式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.
證明以f(x)記多項(xiàng)式.
+15-
∴2x+3是f(x)的因式.
例11分解因式x3-19x-30.
分析這里常數(shù)項(xiàng)是30,如果多項(xiàng)式f(x)=x3-19x-30有x-a這種形式的因式,那么a一定是30的因數(shù),這是因?yàn)閒(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.
∵a|(a3-19a),∴a|30
解30的因數(shù)為±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.
∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(這里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多項(xiàng)式只有三個(gè)一次因式，所以不必再計(jì)算了.)
∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),
∴x3的系數(shù)為1，∴k=1,
故x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).
練習(xí)六
1.選擇題
(1)在1到100之間若存在整數(shù)n,使x2+x-n能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式的乘積,這樣的n有()個(gè)
(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10
(2)二次多項(xiàng)式x2+2kx-3k2能被x-1整除,那么k值是()
(A)1或(B)-1或(C)0(D)1或-1
(3)如果100x2-kxy+49y2是一個(gè)完全平方式,那么k=()
(A)4900(B)9800(C)140(D)70
2.填空
（1）多項(xiàng)式6x2+mxy-3y2+3x+10y-3能分解成關(guān)于x、y的一次多項(xiàng)式,則m=____.
（2）已知x2+x-1=0,則x3+2x2+1985=____.
3.（1）分解因式a2-b2+4a+2b+3
（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
4.（1）分解因式a3b-ab3+a2+b2+1
（2）（1989年廣州等五市聯(lián)賽）分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1).
5.（1986年全國(guó)初中數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.
6.證明是合數(shù).
7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.
8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
9.（1986年五城市聯(lián)賽試題）若a為自然數(shù)，則a4-3a2+9是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)？給出你的證明.
10.（1985年北京市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若a為自然數(shù)，證明
10|(a1985-a1949).
練習(xí)六
１．Ｄ．Ａ．Ｃ．
２．（１）ｍ＝７．（２）１９８６
３．（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．
（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）
４．（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）
（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）
５．（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．
６．Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝…分角為兩因數(shù)之積，且兩因數(shù)均大于１即可得證．
７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．
８．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．
９．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．
再討論：ａ＝１或２時(shí)，知為質(zhì)數(shù)，ａ＞２為合數(shù).
１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．當(dāng)ａ的個(gè)位數(shù)字分別為0～9時(shí),上式右端總含有因數(shù)2和5,
∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．
