數學史

　　一、數學史的研究對象
　　
　　數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。因此，數學史研究對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交*性學科。
　　
　　從研究材料上說，考古資料、歷史檔案材料、歷史上的數學原始文獻、各種歷史文獻、民族學資料、文化史資料，以及對數學家的訪問記錄，等等，都是重要的研究對象，其中數學原始文獻是最常用且最重要的第一手研究資料。從研究目標來說，可以研究數學思想、方法、理論、概念的演變史；可以研究數學科學與人類社會的互動關系；可以研究數學思想的傳播與交流史；可以研究數學家的生平等等。
　　
　　數學史研究的任務在于，弄清數學發展過程中的基本史實，再現其本來面貌，同時透過這些歷史現象對數學成就、理論體系與發展模式作出科學、合理的解釋、說明與評價，進而探究數學科學發展的規律與文化本質。作為數學史研究的基本方法與手段，常有歷史考證、數理分析、比較研究等方法。
　　
　　史學家的職責就是根據史料來敘述歷史，求實是史學的基本準則。從17世紀始，西方歷史學便形成了考據學，在中國出現更早，尤鼎盛于清代乾嘉時期，時至今日仍為歷史研究之主要方法，只不過隨著時代的進步，考據方法在不斷改進，應用范圍在不斷拓寬而已。當然，應該認識到，史料存在真偽，考證過程中涉及到考證者的心理狀態，這就必然影響到考證材料的取舍與考證的結果。就是說，歷史考證結論的真實性是相對的。同時又應該認識到，考據也非史學研究的最終目的，數學史研究又不能為考證而考證。
　　
　　不會比較就不會思考,而且所有的科學思考與調查都不可缺少比較，或者說，比較是認識的開始。今日世界的發展是多極的，不同國家和地區、不同民族之間在文化交流中共同發展，因而隨著多元化世界文明史研究的展開與西方中心論觀念的淡化，異質的區域文明日益受到重視，從而不同地域的數學文化的比較以及數學交流史研究也日趨活躍。數學史的比較研究往往圍繞數學成果、數學科學范式、數學發展的社會背景等三方面而展開。
　　
　　數學史既屬史學領域，又屬數學科學領域，因此，數學史研究既要遵循史學規律，又要遵循數理科學的規律。根據這一特點，可以將數理分析作為數學史研究的特殊的輔助手段，在缺乏史料或史料真偽莫辨的情況下，站在現代數學的高度，對古代數學內容與方法進行數學原理分析，以達到正本清源、理論概括以及提出歷史假說的目的。數理分析實際上是“古”與“今”間的一種聯系。
　　
　　二、數學史的分期
　　
　　數學發展具有階段性，因此研究者根據一定的原則把數學史分成若干時期。目前學術界通常將數學發展劃分為以下五個時期：
　　
　　1．數學萌芽期（公元前600年以前）；
　　
　　2．初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；
　　
　　3．變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；
　　
　　4．近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；
　　
　　5．現代數學時期（20世紀40年代以來）。
　　
　　三、數學史的意義
　　
　　（1）數學史的科學意義
　　
　　每一門科學都有其發展的歷史，作為歷史上的科學，既有其歷史性又有其現實性。其現實性首先表現在科學概念與方法的延續性方面，今日的科學研究在某種程度上是對歷史上科學傳統的深化與發展，或者是對歷史上科學難題的解決，因此我們無法割裂科學現實與科學史之間的聯系。數學科學具有悠久的歷史，與自然科學相比，數學更是積累性科學，其概念和方法更具有延續性，比如古代文明中形成的十進位值制記數法和四則運算法則，我們今天仍在使用，諸如費爾馬猜想、哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現代數論領域中的研究熱點，數學傳統與數學史材料可以在現實的數學研究中獲得發展。國內外許多著名的數學大師都具有深厚的數學史修養或者兼及數學史研究，并善于從歷史素材中汲取養分，做到古為今用，推陳出新。我國著名數學家吳文俊先生早年在拓撲學研究領域取得杰出成就，七十年代開始研究中國數學史，在中國數學史研究的理論和方法方面開創了新的局面，特別是在中國傳統數學機械化思想的啟發下，建立了被譽為“吳方法”的關于幾何定理機器證明的數學機械化方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典范。
　　
　　2數學史介紹
　　
　　科學史的現實性還表現在為我們今日的科學研究提供經驗教訓和歷史借鑒，以使我們明確科學研究的方向以少走彎路或錯路，為當今科技發展決策的制定提供依據，也是我們預見科學未來的依據。多了解一些數學史知識，也不會致使我們出現諸如解決三等分角作圖、證明四色定理等荒唐事，也避免我們在費爾馬大定理等問題上白廢時間和精力。同時，總結我國數學發展史上的經驗教訓，對我國當今數學發展不無益處。
　　
　　（2）數學史的文化意義
　　
　　美國數學史家m.克萊因曾經說過:“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關系在我們這個時代尤為明顯”。“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說”。數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量。因而數學史是從一個側面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分。許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解古代其他主要文化的特征與價值取向。古希臘（公元前600年-公元前300年）數學家強調嚴密的推理和由此得出的結論，因此他們不關心這些成果的實用性，而是教育人們去進行抽象的推理，和激發人們對理想與美的追求。通過希臘數學史的考察，就十分容易理解，為什么古希臘具有很難為后世超越的優美文學、極端理性化的哲學，以及理想化的建筑與雕塑。而羅馬數學史則告訴我們，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨創精神而注重實用。
　　
　　（3）數學史的教育意義
　　
　　當我們學習過數學史后，自然會有這樣的感覺：數學的發展并不合邏輯，或者說，數學發展的實際情況與我們今日所學的數學教科書很不一致。我們今日中學所學的數學內容基本上屬于17世紀微積分學以前的初等數學知識，而大學數學系學習的大部分內容則是17、18世紀的高等數學。這些數學教材業已經過千錘百煉，是在科學性與教育要求相結合的原則指導下經過反復編寫的，是將歷史上的數學材料按照一定的邏輯結構和學習要求加以取舍編纂的知識體系，這樣就必然舍棄了許多數學概念和方法形成的實際背景、知識背景、演化歷程以及導致其演化的各種因素，因此僅憑數學教材的學習，難以獲得數學的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的但對現實科學或許有用的數學材料與方法，而彌補這方面不足的最好途徑就是通過數學史的學習。
　　
　　在一般人看來，數學是一門枯燥無味的學科，因而很多人視其為畏途，從某種程度上說，這是由于我們的數學教科書教授的往往是一些僵化的、一成不變的數學內容，如果在數學教學中滲透數學史內容而讓數學活起來，這樣便可以激發學生的學習興趣，也有助于學生對數學概念、方法和原理的理解與認識的深化。
　　
　　科學史是一門文理交*學科，從今天的教育現狀來看，文科與理科的鴻溝導致我們的教育所培養的人才已經越來越不能適應當今自然科學與社會科學高度滲透的現代化社會，正是由于科學史的學科交*性才可顯示其在溝通文理科方面的作用。通過數學史學習，可以使數學系的學生在接受數學專業訓練的同時，獲得人文科學方面的修養，文科或其它專業的學生通過數學史的學習可以了解數學概貌，獲得數理方面的修養。而歷史上數學家的業績與品德也會在青少年的人格培養上發揮十分重要的作用。
　　
　　中國數學有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發達的國家，出現過許多杰出數學家，取得了很多輝煌成就，其淵源流長的以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。由于各種復雜的原因，16世紀以后中國變為數學入超國，經歷了漫長而艱難的發展歷程才漸漸匯入現代數學的潮流。由于教育上的失誤，致使接受現代數學文明熏陶的我們，往往數典忘祖，對祖國的傳統科學一無所知。數學史可以使學生了解中國古代數學的輝煌成就，了解中國近代數學落后的原因，中國現代數學研究的現狀以及與發達國家數學的差距，以激發學生的愛國熱情，振興民族科學。
　　
　　數學史
　　
　　1.數學史所研究的內容是：
　　
　　①數學史研究方法論問題；
　　
　　②數學史通史；
　　
　　③數學分科史
　　
　　④不同國家、民族、地區的數學史及其比較;
　　
　　⑤不同時期的斷代數學史;
　　
　　⑥數學家傳記;
　　
　　⑦數學思想、概念、數學方法發展的歷史；⑧數學發展與其他科學、社會現象之間的關系；⑨數學教育史；⑩數學史文獻學；2.按其研究的范圍又可分為內史和外史。
　　
　　①內史從數學內在的原因來研究數學發展的歷史；②外史從外在的社會原因來研究數學發展與其他社會因素間的關系。
　　
　　3.研究數學史的歷史:
　　
　　古代數學史：
　　
　　①古希臘曾有人寫過《幾何學史》，未能流傳下來。
　　
　　②5世紀普羅克洛斯對歐幾里得《幾何原本》第一卷的注文中還保留有一部分資料。
　　
　　③中世紀阿拉伯國家的一些傳記作品和數學著作中，講述到一些數學家的生平以及其他有關數學史的材料。
　　
　　④12世紀時，古希臘和中世紀阿拉伯數學書籍傳入西歐。這些著作的翻譯既是數學研究，也是對古典數學著作的整理和保存。
　　
　　近代西歐各國的數學史：
　　
　　是從18世紀，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特納同時開始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《數學史》（1799～1802年又經J.de拉朗德增補）為代表。從19世紀末葉起，研究數學史的人逐漸增多,斷代史和分科史的研究也逐漸展開,1945年以后，更有了新的發展。19世紀末葉以后的數學史研究可以分為下述幾個方面。
　　
　　①通史研究代表作可以舉出M.B.康托爾的《數學史講義》(4卷,1880～1908)以及C.B.博耶(1894、1919D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亞（3卷，1929～1933）等人的著作。法國的布爾巴基學派寫了一部數學史收入《數學原理》。以尤什凱維奇為代表的蘇聯學者和以彌永昌吉、伊東俊太郎為代表的日本學者也都有多卷本數學通史出版。1972年美國M.克萊因所著《古今數學思想》一書，是70年代以來的一部佳作。
　　
　　②古希臘數學史許多古希臘數學家的著作被譯成現代文字，在這方面作出了成績的有J.L.海貝格、胡爾奇、T.L.希思等人。洛里亞和希思還寫出了古希臘數學通史。20世紀30年代起，著名的代數學家范·德·瓦爾登在古希臘數學史方面也作出成績。60年代以來匈牙利的A.薩博的工作則更為突出，他從哲學史出發論述了歐幾里得公理體系的起源。
　　
　　③古埃及和巴比倫數學史把巴比倫楔形文字泥板算書和古埃及紙草算書譯成現代文字是艱難的工作。查斯和阿奇博爾德等人都譯過紙草算書，而諾伊格鮑爾鍥而不舍數十年對楔形文字泥板算書的研究則更為有名。他所著的《楔形文字數學史料研究》（1935、1937）、《楔形文字數學書》（與薩克斯合著，1945）都是這方面的權威性著作。他所著《古代精密科學》(1951)一書，匯集了半個世紀以來關于古埃及和巴比倫數學史研究成果。范·德·瓦爾登的《科學的覺醒》(1954)一書，則又加進古希臘數學史，成為古代世界數學史的權威性著作之一。
　　
　　④斷代史和分科史研究德國數學家（C.）F.克萊因著的《19世紀數學發展史講義》(1926～1927)一書，是斷代體近現代數學史研究的開始，它成書于20世紀，但其中所反映的對數學的看法卻大都是19世紀的。直到1978年法國數學家J.迪厄多內所寫的《1700～1900數學史概論》出版之前，斷代體數學史專著并不多，但卻有（C.H.）H.外爾寫的《半個世紀的數學》之類的著名論文。對數學各分支的歷史，從數論、概率論，直到流形概念、希爾伯特23個數學問題的歷史等，有多種專著出現，而且不乏名家手筆。許多著名數學家參預數學史的研究,可能是基于（J.-）H.龐加萊的如下信念,即:“如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀”，或是如H.外爾所說的：“如果不知道遠溯古希臘各代前輩所建立的和發展的概念方法和結果，我們就不可能理解近50年來數學的目標，也不可能理解它的成就。”
　　
　　⑤歷代數學家的傳記以及他們的全集與《選集》的整理和出版這是數學史研究的大量工作之一。此外還有多種《數學經典論著選讀》出現，輯錄了歷代數學家成名之作的珍貴片斷。
　　
　　⑥專業性學術雜志最早出現于19世紀末，M.B.康托爾（1877～1913，30卷）和洛里亞（1898～1922，21卷）都曾主編過數學史雜志，最有名的是埃內斯特勒姆主編的《數學寶藏》（1884～1915，30卷）。現代則有國際科學史協會數學史分會主編的《國際數學史雜志》。
　　
　　中國數學史：
　　
　　中國以歷史傳統悠久而著稱于世界，在歷代正史的《律歷志》“備數”條內常常論述到數學的作用和數學的歷史。例如較早的《漢書·律歷志》說數學是“推歷、生律、制器、規圓、矩方、權重、衡平、準繩、嘉量，探賾索穩,鉤深致遠,莫不用焉”。《隋書·律歷志》記述了圓周率計算的歷史，記載了祖沖之的光輝成就。歷代正史《列傳》中，有時也給出了數學家的傳記。正史的《經籍志》則記載有數學書目。
　　
　　在中國古算書的序、跋中，經常出現數學史的內容。
　　
　　如劉徽注《九章算術》序(263)中曾談到《九章算術》形成的歷史；王孝通“上緝古算經表”中曾對劉徽、祖沖之等人的數學工作進行評論；祖頤為《四元玉鑒》所寫的序文中講述了由天元術發展成四元術的歷史。宋刊本《數術記遺》之后附錄有“算學源流”,這是中國,也是世界上最早用印刷術保存下來的數學史資料。程大位《算法統宗》(1592)書末附有“算經源流”,記錄了宋明間的數學書目。
　　
　　以上所述屬于零散的片斷資料，對中國古代數學史進行較為系統的整理和研究，則是在乾嘉學派的影響下，在清代中晚期進行的。主要有：①對古算書的整理和研究，《算經十書》(漢唐間算書)和宋元算書的校訂、注釋和出版，參預此項工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈欽裴(1829年校算《四元玉鑒》)、羅士琳(1789～1853)等人②編輯出版了《疇人傳》（數學家和天文學家的傳記），它“肇自黃帝，迄于昭（清）代，凡為此學者，人為之傳”，它是由阮元、李銳等編輯的(1795～1799)。其后，羅士琳作“補遺”(1840)，諸可寶作《疇人傳三編》（1886），黃鐘駿又作《疇人傳四編》(1898)。《疇人傳》，實際上就是一部人物傳記體裁的數學史。收入人物多，資料豐富，評論允當，它完全可以和蒙蒂克拉的數學史相媲美。
　　
　　利用現代數學概念，對中國數學史進行研究和整理，從而使中國數學史研究建立在現代科學方法之上的學科奠基人，是李儼和錢寶琮。他們都是從五四運動前后起，開始搜集古算書,進行考訂、整理和開展研究工作的經過半個多世紀,李儼的論文自編為《中算史論叢》(1～5集，1954～1955),錢寶琮則有《錢寶琮科學史論文集》(1984)行世。從20世紀30年代起，兩人都有通史性中國數學史專著出版，李儼有《中國算學史》(1937)、《中國數學大綱》（1958）；錢寶琮有《中國算學史》（上，1932）并主編了《中國數學史》(1964)。錢寶琮校點的《算經十書》(1963)和上述各種專著一道，都是權威性著作。
　　
　　從19世紀末，即有人（偉烈亞力、赫師慎等）用外文發表中國數學史方面的文章。20世紀初日本人三上義夫的《數學在中國和日本的發展》以及50年代李約瑟在其巨著《中國科學技術史》(第三卷)中對中國數學史進行了全面的介紹。有一些中國的古典算書已經有日、英、法、俄、德等文字的譯本。在英、美、日、俄、法、比利時等國都有人直接利用中國古典文獻進行中國數學史的研究以及和其他國家和地區數學史的比較研究。