海盜分金問題

　　海盜，大家聽說過吧。這是一幫亡命之徒，在海上搶人錢財，奪人性命，干的是刀頭上舔血的營生。在我們的印象中，他們一般都瞎一只眼，用條黑布或者講究點的用個黑皮眼罩把壞眼遮上。他們還有在地下埋寶的好習慣，而且總要畫上一張藏寶圖，以方便后人掘取。不過大家是否知道，他們是世界上最民主的團體。參加海盜的都是桀驁不馴的漢子，是不愿聽人命令的，船上平時一切事都由投票解決。船長的唯一特權，是有自己的一套餐具--可是在他不用時，其他海盜是可以借來用的。船上的唯一懲罰，就是被丟到海里去喂魚。

　　現在船上有若干個海盜，要分搶來的若干枚金幣。自然，這樣的問題他們是由投票來解決的。投票的規則如下：先由最兇猛的海盜來提出分配方案，然后大家一人一票表決，如果有50%或以上的海盜同意這個方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盜同意，那么這個提出方案的海盜就將被丟到海里去喂魚，然后由剩下的海盜中最兇猛的那個海盜提出方案，依此類推。

　　我們先要對海盜們作一些假設。

　　1)每個海盜的兇猛性都不同，而且所有海盜都知道別人的兇猛性，也就是說，每個海盜都知道自己和別人在這個提出方案的序列中的位置。另外，每個海盜的數學和邏輯都很好，而且很理智。最后，海盜間私底下的交易是不存在的，因為海盜除了自己誰都不相信。

　　2)一枚金幣是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。

　　3)每個海盜當然不愿意自己被丟到海里去喂魚，這是最重要的。

　　4)每個海盜當然希望自己能得到盡可能多的金幣。

　　5)每個海盜都是現實主義者，如果在一個方案中他得到了1枚金幣，而下一個方案中，他有兩種可能，一種得到許多金幣，一種得不到金幣，他會同意目前這個方案，而不會有僥幸心理。總而言之，他們相信二鳥在林，不如一鳥在手。

　　6)最后，每個海盜都很喜歡其他海盜被丟到海里去喂魚。在不損害自己利益的前提下，他會盡可能投票讓自己的同伴喂魚。

　　現在，如果有10個海盜要分100枚金幣，將會怎樣？

　　要解決這類問題，我們總是從最后的情形向后推，這樣我們就知道在最后這一步中什么是好的和壞的決定。然后運用這個知識，我們就可以得到最后第二步應該作怎樣的決定，等等等等。要是直接就從開始入手解決問題，我們就很容易被這樣的問題擋住去路："要是我作這樣的決定，下面一個海盜會怎么做？"

　　以這個思路，先考慮只有2個海盜的情況（所有其他的海盜都已經被丟到海里去喂魚了）。記他們為P1和P2，其中P2比較兇猛。P2的最佳方案當然是：他自己得100枚金幣，P1得0枚。投票時他自己的一票就足夠50%了。

　　往前推一步。現在加一個更兇猛的海盜P3。P1知道--P3知道他知道--如果P3的方案被否決了，游戲就會只由P1和P2來繼續，而P1就一枚金幣也得不到。所以P3知道，只要給P1一點點甜頭，P1就會同意他的方案（當然，如果不給P1一點甜頭，反正什么也得不到，P1寧可投票讓P3去喂魚）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。

　　P4的情況差不多。他只要得兩票就可以了，給P2一枚金幣就可以讓他投票贊同這個方案，因為在接下來P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不過他要說服他的兩個同伴，于是他給每一個在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金幣，自己留下98枚。

　　依此類推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，給每一個在P9方案中什么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金幣。

　　下面是以上推理的一個表（Y表示同意，N表示反對）：

　　P1P2

　　0100

　　NY

　　P1P2P3

　　1099

　　YNY

　　P1P2P3P4

　　01099

　　NYNY

　　P1P2P3P4P5

　　101098

　　YNYNY

　　……

　　P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10

　　01010101096

　　NYNYNYNYNY

　　現在我們將海盜分金問題推廣：

　　1)改變一下規則，投票中方案必須得到超過50%的票數（只得到50%票數的方案的提出者也會被丟到海里去喂魚），那么如何解決10個海盜分100枚金幣的問題？

　　2)不改變規則，如果讓500個海盜分100枚金幣，會發生什么？

　　3)如果每個海盜都有1枚金幣的儲蓄，他可以把這枚金幣用在分配方案中，如果他被丟到海里去喂魚，那么他的儲蓄將被并在要分配的金幣堆中，這時候又怎樣？

　　通過對規則的細小改變，海盜分金問題可以有許多變化，但是最有趣的大概是1)和2)（規則仍為50%票數即可）的情況，本帖只對這兩種情況進行討論。

　　首先考慮1)。現在只有P1和P2的情形變得對P2其糟無比：1票是不夠的，可是就算他把100枚金幣都給P1，P1也照樣會把他丟到海里去。可是P2很關鍵，因為如果P3進行分配方案的話，即使他一枚金幣也不給P2，P2也會同意，這樣一來P3就有P2這張鐵票！P3的最佳方案就是：獨吞100枚金幣。

　　P4要3張票，而P3是一定反對他的，而如果不給P2一點甜頭，P2也會反對，因為P2可以在P3的方案中得救，目前為什么不把P4丟到海里呢？所以要分別給P1和P2一枚金幣，這樣P4就有包括他自己1票的3票。P4的方案為：P1，P2每人1枚金幣，他自己98枚。

　　P5的情況要復雜點，他也要3票。P4是會反對他的，所以不用給，給P3一枚金幣就能使他支持自己的方案，因為在接下來的P4方案中他什么也得不到。問題是P1和P2：只要其中有一個支持就可以了。可是只給1枚金幣是不行的，P4方案中他們一定有1枚金幣可得，所以只要在他們中隨便選一個，給2枚金幣，另一個就對不起了，不給。這樣P5的方案是：自己97枚，P3得1枚，P1或P2得2枚。

　　P6的方案建立在P5的上面，只要給每個P5方案中不得益的海盜1枚金幣。要注意的是，P1和P2都應該看作在P5方案中不得益的：他們可能得2枚，可是也可能1枚不得，所以只要P6給他們1枚金幣，根據"二鳥在林，不如一鳥在手"的原則，就可以讓他們支持P6的方案。所以P6的方案是唯一的：P1，P2，P4每人1枚金幣，P6自己拿97枚。

　　這樣繼續下去，P9的方案是：P3，P5，P7每人1枚金幣，然后在P1，P2，P4，P6中任選一人給2枚金幣，P9自己得95枚。最后，P10的方案是唯一的：P1，P2，P4，P6，P8每人1枚金幣，P10自己得95枚。

　　2)是最有趣的（提醒：我們回到50%票即可的規則）。原題解中的推理過程直到200個海盜都是成立的：P200給每個偶數號的海盜1枚金幣，包括他自己，其他海盜什么也得不到。從P201開始，繼續推理就變得有點困難了：P201為了不被丟到海里去，必須什么也不留給自己，而給從P1到P199中所有奇數號海盜每人1枚金幣，從而爭取到100票，加上他自己1票，逃過一劫。P202也什么都得不到，他必須用這100枚金幣買通100個從P201的方案中什么也得不到的海盜，要注意到現在這個方案不是唯一的：P201的方案中得不到金幣的海盜是所有奇數號的海盜，有101個（包括P201），所以有101種方案。

　　P203必須得到102票，除了自己的1票外，他只有100枚金幣，所以只能買到100票，所以可憐的家伙就被丟到海里喂魚了。但是，P203是個很重要的角色，因為P204知道如果自己的方案不被通過，P203也一樣會完蛋，所以他有P203的一張鐵票。所以P204可以大出一口氣：他自己一票，加上P203一票，然后加上用100枚金幣買的確100票，他就得救了！100個有幸得到1枚金幣的海盜，可以是P1到P202中任何100個：因為其中的偶數號的從P202的方案中什么也得不到，如果P204給他們中某個海盜1枚金幣，這個海盜一定會贊同這個方案；而編號為奇數的海盜呢，只是有可能從P202的方案中得益罷了（可能性為100/101），所以根據"二鳥在林，不如一鳥在手"的原則，如果能得到1枚金幣，他也會贊同這個方案。

　　接下去P205是不能把希望放在P203和P204這兩張票上的，因為就算他被丟到海里去，P203和P204還可以通過P204的方案機會活下來。P206雖然可以靠P205的鐵票，加上自己1票和100枚金幣搞到的100票，只有102票，所以他也被丟到海里喂魚。P207好不了多少，他需要104票，而他自己以及P205和P206的鐵票加上100枚金幣搞到的100票只有103票--只好下海。

　　P208運氣比較好，他同樣也要104票，可是P205，P206，P207都會投票贊成他的方案！加上他自己的1票和買來的100票，他終于逃脫了做魚食的命運。

　　這樣我們就有了一種可以一直推下去的新邏輯。海盜可以什么也不留給自己，買上100票，然后依靠一部分一定會被丟下海的海盜的鐵票，從而讓自己的方案通過。有這樣運氣的海盜分別是P201，P202，P204，P208，P216，P232，P264，P328和P456……我們看到這樣的號碼是200加上一個2的次冪。

　　哪些海盜是受益者呢，顯然鐵票是不用（不能）給金幣的。所以只有上一個幸運號碼及他以前的那些海盜才有可能得到1枚金幣。于是我們得到500海盜分100枚金幣的結論是：前44個最兇猛的海盜被丟進海里，然后P456給P1到P328中的100個海盜每人1枚金幣。

　　就這樣，最兇猛的海盜被丟進海里，而比較兇猛的什么也得不到，而只有最溫柔的那些海盜，才有可能得到1枚金幣。正如《馬太福音》所說："溫柔的人有福了，因為他們必承受地土！"（太5:5）

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