應用題

　　應用題選講

　　應用題聯系實際，生動地反映了現實世界的數量關系，能否從具體問題中歸納出數量關系，反映了一個人分析問題、解決問題的實際能力.

　　列方程解應用題，一般應有審題、設未知元、列解方程、檢驗、作結論等幾個步驟.下面從幾個不同的側面選講一部分競賽題，從中體現解應用題的技能和技巧.

　　1.合理選擇未知元

　　例1  （1983年青島市初中數學競賽題）某人騎自行車從A地先以每小時12千米的速度下坡后，以每小時9千米的速度走平路到B地，共用55分鐘.回來時，他以每小時8千米的速度通過平路后，以每小時4千米的速度上坡，從B地到A地共用小時，求A、B兩地相距多少千米？

　　解法1  （選間接元）設坡路長x千米，則下坡需

　　依題意列方程：

　　解之，得x=3.

　　答：A、B兩地相距9千米.

　　解法2（選直接元輔以間接元）設坡路長為x千米，A、B兩地相距y千米，則有如下方程組

　　解法3（選間接元）設下坡需x小時，上坡需y小時，依題意列方程組：

　　例2  （1972年美國中學數學競賽題）若一商人進貨價便誼8%，而售價保持不變，那么他的利潤（按進貨價而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？

　　解  本題若用直接元x列方程十分不易，可引入輔助元進貨價M，則0.92M是打折扣的價格，x是利潤，以百分比表示，那么寫出售貨價（固定不變）的等式，可得：

　　M（1+0.01x）=0.92M[1+0.01（x+10）].

　　約去M，得

　　1+0.01x=0.92[1+01.1（x+10）].

　　解之，得   x=15.

　　例3  在三點和四點之間，時鐘上的分針和時針在什么時候重合？

　　分析  選直接元，設兩針在3點x分鐘時重合，則這時分針旋轉了x分格，時針旋轉了（x-15）分析，因為分針旋轉的速度是每分鐘1分格，旋轉x分格需要分鐘，時針旋轉的速度是每分鐘分格，旋轉（x-15）分格要

　　例4（1985年江蘇東臺初中數學競賽題）從兩個重為m千克和n千克，且含銅百分數不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后，兩者的含銅百分數相等，問切下的重量是多少千克？

　　解  采用直接元并輔以間接元，設切下的重量為x千克，并設m千克的銅合金中含銅百分數為q1，n千克的銅合金中含銅百分數為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克，混合熔煉后所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依題意，有：

　　2.多元方程和多元方程組

　　例5 （1986年揚州市初一數學競賽題）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相贈送，先由A給B、C，所給的豆數等于B、C原來各有的豆數，依同法再由B給A、C現有豆數，后由C給A、B現有豆數，互送后每人恰好各有64粒，問原來三人各有豆多少粒？

　　解  設A、B、C三人原來各有x、y、z粒豆，可列出下表：

　　則有：

　　解得：x=104，y=56，z=32.

　　答：原來A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.

　　例6（1985年寧波市初中數學競賽題）某工廠有九個車間，每個車間原有一樣多的成品，每個車間每天能生產一樣多的成品，而每個檢驗員檢驗的速度也一樣快，A組8個檢驗員在兩天之間將兩個車間的所有成品（所有成品指原有的和后來生產的成品）檢驗完畢后，再去檢驗另兩個車間的所有成品，又用了三天檢驗完畢，在此五天內，B組的檢驗員也檢驗完畢余下的五個車間的所有成品，問B組有幾個檢驗員？

　　解  設每個車間原有成品x個，每天每個車間能生產y個成品；則一個車間生產兩天的所有成品為（x+2y）個，一個車間生產5天的所有成品為(x+5y)個，由于A組的8個檢驗員每天的檢驗速度相等，可得

　　解得：x=4y

　　一個檢驗員一天的檢驗速度為：

　　又因為B組所檢驗的是5個車間，這5個車間生產5天的所有成品為5(x+5y)個，而這5(x+5y)個成立要B組的人檢驗5天，所以B組的人一天能檢驗(x+5y)個.

　　因為所有檢驗員的檢驗速度都相等，所以，(x+5y)個成品所需的檢驗員為：

　　（人）.

　　答：B組有12個檢驗員.

　　3.關于不等式及不定方程的整數解

　　例7（1985年武漢市初一數學競賽題）把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，求猴子的只數和花生的顆數.

　　解：設有x只猴子和y顆花生，則：

　　y-3x=8,            ①

　　5x-y＜5，          ②

　　由①得：y=8+3x,                       ③

　　③代入②得5x-(8+3x)＜5,

　　∴               x＜6.5

　　因為y與x都是正整數，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應地求出y的值為26，23，20，17，14，11.

　　經檢驗知，只有x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.

　　答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.

　　例8（1986年上海初中數學競賽題）在一次射箭比賽中，已知小王與小張三次中靶環數的積都是36，且總環數相等，還已知小王的最高環數比小張的最高環數多（中箭的環數是不超過10的自然數），則小王的三次射箭的環數從小到大排列是多少？

　　解  設小王和小張三次中靶的環數分別是x、y、z和a、b、c,不妨設x≤y≤z，a≤b≤c，由題意，有：

　　因為環數為不超過10的自然數，首先有z≠10，否則與①式矛盾.

　　若設z=9,則由①知：xy=4,

　　∴x=2,y=2,或x=1,y=4,

　　∴x+y+z=13或x+y+z=14.

　　又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，這時，ab=6.

　　∴a=2，b=3，或a=1，b=6

　　∴a+b+c=11或a+b+c=13

　　又由③知：x+y+z=a+b+c=13

　　∴取x=2，y=2，z=9.

　　答：小王的環數分別為2環，2環，9環.

　　例9（1980年蘇聯全俄第6屆中學生物理數學競賽題）一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數相等，起初，每輛汽車乘了22人，結果剩下一人未上車；如果有一輛汽車空車開走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？

　　解  設起初有汽車k輛，開走一輛空車后，平均每輛車所乘的旅客為n名，顯然，k≥2，n≤32，由題意，知：22k+1=n(k-1)，

　　∴k-1=1，或k-1=23,

　　即k=2，或k=24.

　　當k=2時，n=45不合題意，

　　當k=24時,n=23合題意，

　　這時旅客人數為n(k-1)=529.

　　答：起初有24輛汽車，有529名旅客

　　4.應用題中的推理問題

　　競賽中常見的應用題不一定是以求解的面目出現，而是一種邏輯推理型.解答這類題目不僅需要具備較強的分析綜合能力，還要善于用準確簡練的語言來表述自己正確的邏輯思維.

　　例10（1986年加拿大數學競賽題）有一種體育競賽共含M個項目，有運動員A、B、C參加，在每個項目中，第一、二、三名分別得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3為正整數且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米賽中取得第一，求M的值，并問在跳高中誰取得第二名？

　　分析  考慮三個得的總分，有方程：

　　M(p1+p2+p3)=22+9+9=40,           ①

　　又        p1+p2+p3≥1+2+3=6，    ②

　　∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，從而M≤6.

　　由題設知至少有百米和跳高兩個項目，從而M≥2，

　　又M|40，所以M可取2、4、5.

　　考慮M=2，則只有跳高和百米，而B百米第一，但總分僅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，這樣A不可能得22分.

　　若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四項最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.

　　∵4（p1+p2+p3）=40,∴p2+p3=4.

　　故有：p2=3,p3=1,A最多得三個第一，一個第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾.

　　若M=5，這時由5(p1+p2+p3)=40，得：

　　p1+p2+p3=8.若p3≥2，則：

　　p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.

　　又p1必須大于或等于5,否則,A五次最高只能得20分,與題設矛盾,所以p1≥5.

　　若p1≥6，則p2+p3≤2，這也與題設矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.

　　A=22=4×5+2.

　　故A得了四個第一，一個第二；

　　B=9=5+4×1，

　　故B得了一個第一，四個第三；

　　C=9=4×2+1，

　　故C得了四個第二，一個第三.

　　練 習五

　　1.選擇題

　　（1）打開A、B、C每一個閥門，水就以各自不變的速度注入水槽.當所有三個閥門都打開時，注滿水槽需1小時；只打開A、C兩個閥門，需要1.5小時；如果只打開B、C兩個閥門，需要2小時，若只打開A、B兩個閥門時，注滿水槽所需的小時數是（  ）.

　　（A）1.1 （B）1.1５  （C）1.2   （D）1.25      (E)1.75

　　（2）兩個孩子在圓形跑道上從同一點A出發，按相反方向運動，他們的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他們同時出發并當他們在A點第一次再相遇的時候結束，那么他們從出發到結束之間相遇的次數是（  ）.

　　（A）13    （B）25     （C）44      （D）無窮多      （E）這些都不是

　　（3）某超級市場有128箱蘋果，每箱至少120只，至多144只，裝蘋果只數相同的箱子稱為一組，問其中最大一組的箱子的個數n，最小是（  ）

　　（A）4      （B）5     （C）6     （D）24      （E）25

　　（4）兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液，在一個瓶子中酒精與水的容積之比是p:1，而在另一個瓶子中是q:1，若把兩瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精與水的容積之比是（  ）.

　　（5）汽車A和B行駛同樣的距離，汽車A以每小時u千米行駛距離的一半并以每小時υ千米行駛另一半，汽車B以每小時u千米行駛所行時間的一半并以每小時υ千米行駛另一半，汽車A的平均速度是每小時x千米，汽車B的平均速度是每小時y千米，那么我們總有（  ）

　　（A）x≤y         (B)x≥y       (C)x＝y        (D)x＜y      (E)x＞y

　　2.填空題

　　（1）已知鬧鐘每小時慢4分鐘，且在3點半時對準，現在正確時間是12點，則過正確時間______分鐘，鬧鐘才指到12點上.

　　（2）若b個人c天砌f塊磚，則c個人用相同的速度砌b塊磚需要的天數是____.

　　（3）某人上下班可乘火車或汽車，若他早晨上班乘火車則下午回家乘汽車；又假若他下午回家乘火車則早晨上班乘汽車，在x天中這個人乘火車9次，早晨乘汽車8次，下午乘汽車15次，則x=_______.

　　（4）一個年齡在13至19歲之間的孩子把他自己的年齡寫在他父親年齡的后面，從這個新的四位數中減去他們年齡差的絕對值得到4289，他們年齡的和為______.

　　（5）一個城鎮的人口增加了1200人，然后這新的人口又減少了11%，現在鎮上的人數比增加1200人以前還少32人，則原有人口為_____人.

　　3.（1982-1983年福建省初中數學競賽題）一個四位數是奇數，它的首位數字小于其余各位數字，而第二位數字大于其余各位數字，第三位數字等于首末兩位數字之和的二倍，求此四位數.

　　4.（第2屆《祖沖之杯》）甲乙兩人合養了幾頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，兩人分錢方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應該分給乙多少錢？

　　5.（1986年湖北省荊州地區初中數學競賽題）完成同一工作，A獨做所需時間為B與C共同工作所需時間的m倍，B獨做所需時間為A與C共同工作所需時間的n倍，C獨做所需時間為A與B共同工作所需時間的x倍，用m，n表示出x來.

　　6.（1988年江蘇省初中數學競賽題）今有一個三位數，其各位數字不盡相同，如將此三位數的各位數字重新排列，必可得一個最大數和一個最小數（例如，427，經重新排列得最大數742，最小數247），如果所得最大數與最小數之差就是原來的那個三位數，試求這個三位數.

　　7.（1978年四川省數學競賽題）某煤礦某一年產煤總量中，除每年以一定數量的煤作為民用、出口等非工業用途外，其余留作工業用煤，按照該年度某一工業城市的工業用煤總量為標準計算，可供這樣的三個工業城市用六年，四個這樣的城市用五年（當然每年都要除去非工業用煤的那一個定量），問如果只供一個城市的工業用煤，可以用多少年？

　　練習五

　　１．Ａ．Ｃ．Ｅ．Ａ．

　　２．①   ②     ③１６  ④５９歲    ⑤１０００

　　３．設從首位起，各位數字順次為ａ，ｂ，ｃ，ｄ，則ａ＜ｂ，ａ＜ｃ，ａ＜ｄ，且ｃ＜ｄ，ｄ＜ｂ．又ｃ＝２（ａ＋ｄ）．且２≤ｃ≤８，故２≤２（ａ＋ｄ）≤８．∵ｄ為奇數，ａ≠０，∵ａ＝１，ｄ＝３．這時ｃ＝２（ａ＋ｄ）＝８，ｂ＝９．

　　４．略．

　　５．設Ａ、Ｂ、Ｃ單獨完成同一工作所需時間分別為ａ、ｂ、ｃ，則單位時間他們可分別完成全部工作的、、，依題意

　　有：

　　由上面三式，可得：

　　６．設三位數為，重排后最大數為則最小數為于是有由于Ｃ＜Ａ，由上式有１０＋Ｃ－Ａ＝ｚ，１０＋（Ｂ－１）－Ｂ＝ｙ，（Ａ－１）－Ｃ＝ｘ．可求得ｙ＝９，ｘ＝４，ｚ＝５．

　　７．設該煤礦該年度產煤總量為ｘ，每年非工業用煤量為ｙ，該工業城市該年工業用煤量為ｚ，并設只供這樣一個城市工業用煤可用ｐ年，由題意得方程組：

　　①　②　③

　　由①與②得ｙ＝２ｚ．　　　　　　　④

　　從①、③、④三式中消去ｘ、ｙ、ｚ，得