《仙劍版物理競賽卷》

　　《仙劍版物理競賽卷》

　　全卷共七題，滿分160分，答題時間180分鐘：

　　解答題：

　　一、奇妙的天蛇杖。（23分）

　　靈兒與水魔獸同歸于盡后，天蛇杖從天空中掉落，立在懸崖邊上。大家都知道這是不可能立住的，現對于這一奇妙的現象有兩種假設：1、由于天蛇杖強大的靈力，在杖的下方具有一股靈氣，可等效為密度為ρ的暗物質。2、由于強大的靈力，杖的周圍布滿了固定杖的真氣，可等效為連接在杖質心上的8根彈簧，彈簧對稱分布，所組成的平面與杖垂直，勁度系數同為k。已知：杖長為L，質量為M，質心位于頂部L/3處，豎直樹立。現有問題如下：

　　（1）假設1中靈氣呈半徑為R的半球狀分布，球心位于杖底，球冠向下，圓面與杖垂直。試討論p在什么范圍內時天蛇杖處于穩定平衡

　　（2）假設2中求天蛇杖作微小振動時的周期T

　　二、鎮妖劍的墜落。（27分）

　　重樓和飛蓬在新仙界對決。兩人最后用盡全力相向一擊后向兩邊彈開，鎮妖劍掉落人間。已知重樓質量M1，飛蓬體重M2，鎮妖劍質量m（M2>>m），兩者以相同的速度v0相撞后分開，重樓速度v1，飛蓬速度v2，碰撞損失能量E。設鎮妖劍碰后被平拋出去，并繞其質心以w勻角速轉動，其質心在中點。（其角動量造成飛蓬的角度偏離可忽略不計，即碰撞發生在一直線）鎮妖劍要插入蜀山的石縫需要動量P，蜀山海拔高度h，不計空氣阻力。試求：

　　（1）要使鎮妖劍插入地中，新仙界最小的海拔高度H

　　（2）此高度對應的新仙界距離蜀山的水平距離S

　　（3）若直接將鎮妖劍從高出自由垂落（不轉動），求最小高度L（1、2小題認為新仙界處重力加速度和地面一樣為g，第3小題將鎮妖劍視作天體。）

　　三、重樓封印鎖妖塔。（22分）

　　重樓散盡魔力封印鎖妖塔，鎖妖塔體積為V，當天大氣壓強為P，空氣溫度T。重樓騰身躍起，將相當于鎖妖塔體積的空氣凝成一股真氣（此股真氣可視為理想氣體），重樓把氣體凝成原來體積的1/n，溫度不變。然后先控制體積不變，把真氣壓強加倍；在控制壓強不變，把體積變為16倍，最后把真氣擲向鎖妖塔，一切恢復平靜。設真氣恢復的原來的狀態釋放的魔能剛好修復鎖妖塔，不考慮和外界的熱量交換以及擲出的能量。求：

　　（1）重樓放出的魔力（能量）W

　　（2）修復鎖妖塔所需的靈力（能量）Q

　　（3）此循環的效率n

　　（4）重樓修復鎖妖塔的效率k

　　四、五靈法陣。（22分）

　　鎖妖塔頂強大的五靈法陣，其實是一個看不見的五靈導體大球（原來不帶電）中過球心的水平截面。法陣上水火雷風土五靈的圓同樣是五個小球的過球心的截面。這五個小球是大球中的五個空腔，中間注滿了對應屬性的靈力。已知大球半徑為R，小球半徑為r，五靈圓的圓心離法陣圓心R/2，在小圓圓心到大圓圓心連線上距離小圓圓心r/2處固定有電量分別為q水q火q雷q風q土的線度很小的導體（可視為點電荷），所有的靈力便集中在這些電荷上。在蜀山的無極閣的法陣的靈力相當于電量為Q的點電荷，認為它與塔頂五靈法陣共面，到球心的距離為4R，他們之間共同具有的勢能維護著蜀山的安定和生息。現火脈被燎日打通，q火到了火靈圓的圓心。南宮煌一行人不得不人為的打通剩余的地脈。設他們打通地脈后，該屬性的電荷被釋放。當所有電荷被釋放后就可以重置（所謂的否極泰來）。

　　（1）當火脈剛打通時，q火的靈力值（電勢能）

　　（2）地脈全部打通直到重置前，各表面的靈力（電荷分布）有何變化？此時q火的靈力值（電勢能）為多少？

　　五、邪劍仙鑄劍（25分）

　　邪劍仙奪得雙劍后在劍冢鑄劍，鑄劍爐啟動時電離空氣，形成逐漸增強的磁場。邪劍仙的身體是一個提供邪惡能量的電源，與雙劍連通后形成回路。設雙劍被對稱舉起在豎直平面內，邪劍仙雙臂同在此平面內，回路是臂長為L的菱形，魔劍和鎮妖劍夾角60度（這是我自己設想的畫面）。邪劍仙提供的邪念電動勢為E，左手位電源正極，內阻為r。磁場均勻增強，B=b+kt，k為已知常量，方向水平指向邪劍仙。設t=0時刻開始鑄劍，兩劍間沒有力的作用，電阻各為R，并且忽略電流周圍的磁場。當從雙劍的發出的邪能都達到U時，會被激發產生邪劍。磁場發出的能量不是邪惡的，問鑄成邪劍時邪劍仙所做的功A和并請導出邪劍仙雙臂各自所用的力關于時間的函數關系式。

　　六、洞冥寶鏡的原理（23分）

　　洞冥寶鏡能夠照妖，其原理如下：它的外表面為凸面鏡，將遠處的妖怪在鏡子的后面成像，背面涂抹了一層化妖水結晶后形成的固體，可以使妖怪形成的虛像現形。知道這一原理后，我們不但可以制作照妖鏡，還可以制作視妖眼鏡等等。現給你足夠的折射率為n=1.57的玻璃，塑料長筒，還有一定量的化妖水晶體。假設光不在化妖水晶體屏上成像時可無障礙的透過，請你制作一架開普勒照妖望遠鏡和一架伽利略照妖望遠鏡，可以看到很遠處的妖怪。分別求出兩架望遠鏡中鏡片的直徑和焦距，以及相隔的距離，組合的方式。并畫出成像光路示意圖。

　　七、來無影去無蹤的重樓（18分）

　　當紫萱發生危險時，魔眼向重樓發出頻率100Hz的光頻信號，重樓需要在10秒內趕到紫萱身邊。收到信號后重樓立即以0.8C的速度趕向人界，剛好救下紫萱。（C為真空中的光速，忽略加速和減速的過程）試求：（1）人魔兩界的距離（2）重樓認為自己只用了多少時間就趕到了（3）重樓共收到多少個光頻信號（4）紫萱想要封印鎖妖塔時，封印前t秒魔眼向重樓發出信號。重樓以v速趕來，請討論紫萱結局和非紫萱結局時，v和t滿足的關系。