構建數學模型解決物理問題

構建數學模型解決物理問題
物理學是應用數學思想與方法最充分、最成功的一門科學。可以這樣說，離開了數學思想與方法，就沒有真正意義上的物理學。但是，在相當多的學生中，存在著將學習數學和學習物理兩者截然分開的現象:他們學習了一定的數學思想與方法，并能解決一些比較復雜的數學問題;但是在需要運用這些數學思想與方法來解決物理問題時，卻表現出滯后和吃力。基于此，筆者經過對高中物理中應用數學思想與方法的多年研究，認為構建數學模型，應用數學方法，注重數學的解與物理的解的統一是解決物理問題的有效途徑。
　　
　　1注重數學模型、數學方法教學的必要性
　　
　　2006年《普通高等學校招生全國統一考試大綱(理綜物理)》對應用數學處理物理問題的能力的要求是:能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論;必要時能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析。可見數學是解決物理問題一個不可缺少的工具。
　　
　　2構建數學模型的基本途徑
　　
　　所謂數學模型，就是用符號、字母和數字等數學語言表示的，反映問題中各要素之間數量關系的數學表達式。構建數學模型(即數學建模)解決物理問題，就是用數學語言形式表達所研究的物理問題的特征及有關量之間的關系，然后應用數學方法尋求問題答案。它是解決物理問題的一種方法，一般要經過以下兩步:
　　
　　2.1物理問題向物理模型的轉化
　　
　　實際的物理問題往往錯綜復雜，影響問題的因素很多，但在諸多的因素中，總有些因素占主導的位置，而另一些因素處于次要的位置。在眾多因素中突出主要因素和主要關系，進行科學抽象，把復雜的研究對象簡化，即構建物理模型。如研究地球公轉，求日地間距等，就可以忽略地球的自轉以及地球、太陽的線度，將地球、太陽都抽象為質點。這樣，地球繞日運動就可以抽象為一質點在萬有引力作用下繞另一質點的運動。
　　
　　2.2物理模型向數學模型的轉化
　　
　　建立物理模型后，分析與主要因素有關的基本物理量中，哪些是常量，哪些是變量;哪些是矢量，哪些是標量;哪些是過程量，哪些是狀態量;哪些是已知量，哪些是待求量。再根據物理規律找出各物理量之間的關系式，抽象出研究對象的數學模型。如上例中，地球繞太陽運動，若太陽的質量M、地球的運動周期T是已知量，地球到太陽的間距r為待求量，而G是常量。根據日地間的

       
　　
　　3數學方法的具體運用
　　
　　數學模型建立起來后，就要應用數學方法來求解。高中物理學中的數學方法，是指運用數學工具分析及闡明物理理論、解決物理問題的方法。常見的數學方法有:三角函數法、圖象求解法、數學比例法、指數對數法、幾何圖形法、數學極值法、數列極限法、導數微元法等。在這里僅例舉三角函數法、數列極限法加以說明。
　　
　　例1質量為m的物體放在地面上，它們間的滑動摩擦系數為μ，用力F斜向上拉物體，使物體在水平面上作勻速直線運動，求力與水平方向的夾角α為多大時最省力。

       
　　
　　析與解由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著α角的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動摩擦力也不一樣。而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等。以物體為研究對象，受力分析如圖1所示。因為物體處于平衡狀態，

       
　　
　　例2一彈性小球自4.9m高處自由下落，它與地面每相碰一次后，速度就減少為碰前的7/9，試求小球從開始下落到停止運動所用的時間。

       
　　
　　4數學的解與物理的解的統一
　　
　　從實際問題提煉出數學模型后，必須根據問題的目標和條件，尋找切實可行的數學方法，求出數學的解。但獲得了數學的解，并不意味著解題工作的終結，還應將它還原成物理的解，這種還原工作主要包括以下兩個方面:
　　
　　4.1解釋數學解的物理意義，并結合實際對數學解作出取舍
　　
　　對數學的解應該充分挖掘其內含的物理意義，并給予解釋，以便自身得到認同和接受。如在運動學問題中求得的速度為負值，說明所求得的速度方向與原規定正方向相反。通過數學方程解得數學的解，有時往往不止一個，這些數學的解，有可能都具有物理意義，也可能并不是都具有物理意義，并不能全部都能在現實中客觀存在，或并不具有同等的地位和價值。這時，就需要結合物理實際進行討論，舍去不符合實際的解。
　　
　　4.2根據數學的解對解題過程作必要的修正
　　
　　如果由建立的數學模型，應用數學方法解出的數學的解都不符合物理實際意義，并不能只是簡單下個無解的結論，而是應該對原數學模型作仔細的分析與反思，找到其潛在的問題，并對原數學模型進行修正。
　　
　　例3在平直公路上以20m/s勻速行駛的汽車，剎車后獲得8m/s2大小的加速度，問經過5秒鐘，汽車發生的位移是多少?
　　
　　錯解根據勻變速直線運動的位移公式

       
　　
　　由此可見，求得數學的解后，再從物理的角度進行討論分析，把數學的解還原成符合實際的物理的解這一過程，是十分重要的，這也是解題過程中最容易疏漏的地方。
　　
　　在物理教學過程中對學生進行數學建模思想和數學方法應用的滲透，不僅可以使學生體會到物理并非只是一門以實驗為基礎的自然科學，而且還可以使學生感覺到利用數學的思想和方法能很好的解決一些物理實際問題。