曹沖稱象與七橋問題

　　傳說，在公元前287年，敘拉古王國的國王打了勝仗，為了慶祝勝利，他決定獻給神一頂金子做的王冠。他找來一位珠寶商，給了他一些金子讓他制造一頂王冠。王冠制作得很漂亮，重量也跟原來國王給的黃金一樣重。但是國王還是懷疑珠寶商盜竊了一部分黃金，而在王冠中摻進了同等重量的白銀。他請阿基米德鑒定王冠是不是純金的，但不許拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天，都不得要領。一天，他跨入盛滿水的浴缸洗澡，看到水向外溢，頓時豁然開朗，興奮地喊：“我找到檢驗王冠的方法了”。

　　阿基米德由此發現了浮力定理，從而解決了王冠的檢驗問題。

　　在我國古代，也流傳一個利用浮力原理的“曹沖稱象”的故事。曹操的兒子曹沖小時候非常聰明。一天，有人送給曹操一只大象，曹操很高興，想知道這個龐然大物究竟有多重。但是到哪里去找這樣大的秤呢？魏國的謀臣武士們絞盡腦汁，也想不出一個辦法。小小的曹沖卻想出了一個妙法：他教人把大象牽到一只大木船上，刻下木船的吃水深度；然后把大象牽下船而向船上裝進一些石塊，讓木船吃水深度與原來的刻度一致時即停止繼續裝石塊。根據浮力原理，大象的重量和船上石塊的重量相等，而分散的石塊是可以用普通的秤稱出其重量的。“曹沖稱象”成為千古美談。

　　“曹沖稱象”的思想不僅僅是利用了物理學中的浮力原理，也利用了數學中一個極為普遍的思想：轉化思想。即把有待解決的問題，通過適當的方法，轉化為已經解決或已經知道其解決方法的問題。

　　從某種意義上講，數學證明或數學計算中的每一步都是一種轉化，轉化思想是數學中最基本、最重要的一種思想。可以毫不夸張地說。轉化能力的高低是衡量一個人數學水平的重要標志之一。

　　匈牙利數學家羅莎曾經對此作過一個有趣的比喻：

　　假如在你面前有煤氣灶、水壺、水籠頭和火柴，現在要燒一壺開水，你應該怎樣做？

　　回答很簡單，誰都知道應該怎樣做。在水壺中加滿水；點燃煤氣；把水壺放到煤氣灶上。

　　接著羅莎再提出問題：現在所有的條件都和原來一樣，只是水壺中已灌滿了水，這時你又應該怎樣做？對于這一問題人們通常的回答往往是：那就只要點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上就可以了。但羅莎指出，這不是最好的回答，因為只有物理學家才會這樣做，而數學家則會倒去壺中的水，因為他已經把后一問題轉化為前一個問題了，而前一問題是已經解決了的。

　　羅莎的比喻也許過于夸張，但它的確表明了數學思想方法的一個特點，善于使用轉化的方法。

　　在18世紀，東普魯士哥尼斯堡（今屬立陶宛共和國）內有一條大河，河中有兩個小島。全城被大河分割成四塊陸地。河上架有七座橋，把四塊陸地像圖1那樣聯系起來。當時許多市民都在思索如下的問題：一個散步者能否從某一陸地出發，不重復地經過每座橋一次，最后回到原來的出發地。

　　這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問題。

　　這個問題似乎不難解決，所以吸引了許多人都想來試試看，但是日復一日誰也沒有得出確定的答案。于是有人便寫信給當時著名的數學家歐拉（Euler，1707～1783）求教。歐拉畢竟是數學家，他并沒有去重復人們已多次失敗了的試驗，而是首先產生了一種直覺的猜想：許多人千百次的失敗，也許意味著這樣的走法根本就不存在。于是歐拉把七橋問題進行了數學的抽象。用A、B、C、D四個點表示四塊陸地，用兩點間的一條線表示聯接兩塊陸地之間的一座橋，就得到如圖2那樣一個由四個點和七條線組成的圖形。

　　于是，七橋問題就轉化為一個象圖2那樣的圖形是否可以“一筆畫”的問題。什么叫“一筆畫”呢？那就是筆不準離開紙，一氣畫成整個圖形，但每一條線只許畫一次，不得重復。像圖2這樣的圖形能不能一筆畫呢？1736年歐拉證明了：答案是否定的。

　　為什么呢？

　　因為除了起點和終點之外，我們把其余的點稱為中間點。如果一個圖可以一筆畫的話，對于每一個中間點來說，當畫筆沿某條線到達這一點時，必定要沿另一條線離開這點，并且進入這點幾次，就要離開這點幾次，一進一出，兩兩配對，所以從這點發出的線必然要是偶數條。因此，一個圖形能否一筆畫就有了一個判別準則：

　　一個可以一筆畫的圖形最多只能有兩個點（起點和終點）與奇數條線相連。

　　再看圖2中的四個點都是與奇數條（三條或五條）線相連的，根據這一判別準則，是不能一筆畫的。

　　從而證明了七橋問題所要求的走法是不存在的。

　　曾經難倒許多人的七橋問題，經過歐拉這一轉化，就像哥倫布豎雞蛋一樣，簡單而圓滿地解決了。