[趣味物理]大力士和歐拉的公式

　　[趣味物理]大力士和歐拉的公式

　　你記得儒勒·凡爾納書里的競技大力士馬蒂夫嗎？“頭大身高，胸膛像鐵匠的風囊，腿像粗壯的木柱，胳膊像起重機，拳頭像鐵錘……”這位大力士的功勞在《馬蒂斯·桑多爾夫》這部小說里敘述得很多，可是使讀者印象最深的，大概是他用手拉住一條正在下水的船“特拉波科羅”號這件事。

　　關于這件事，小說的作者是這樣告訴我們的：

　　已經移去了在兩旁撐住船身的支持物，船準備下水了。只要把纜索解開，船就會滑下去。已經有五六個木工在船的龍骨底下忙著。觀眾滿懷著好奇心注視著這件工作。這時候，卻有一只快艇繞過岸邊凸出的地方，出現在人們的眼前。原來這只快艇要進港口，必須經過“特拉波科羅”號準備下水的船塢前面。所以，一聽見快艇發出信號，大船上的人為了避免發生意外，就停止了解纜下水的操作，讓快艇先過去。假使這兩條船，一條橫著，另一條用極高的速度沖過去，快艇一定會被撞沉的。

　　工人們停止了捶擊。所有的眼睛全都注視著這只華麗的船。船上的白色篷帆在斜陽下像鍍了金一樣。快艇很快就出現在船塢的正前面。船塢上成千的人都出神地看著它。突然聽到一聲驚呼，“特拉波科羅”號正當快艇的右舷對著它的時候，開始搖擺著滑下去了。兩條船就要相撞了。已經沒有時間、沒有方法能夠防止這場慘禍了。“特拉波科羅”號很快地斜著向下面滑去……船頭上卷起了因摩擦而起的白霧，船尾已經沒入了水。

　　突然出現了一個人，他抓住了掛在“特拉波科羅”號前部的纜索，用力地拉，幾乎把身子彎得接近了地面。不到1分鐘，他已經把纜索繞在打在地里的鐵樁上。他冒著被摔死的危險，用超人的氣力，用手拉住纜索大約有40秒鐘。最后，纜索斷了。可是這40秒鐘時間已經很足夠：“特拉波科羅”號進水以后，只輕微地擦了一下快艇，就向前駛了開去。

　　快艇已經脫了險。至于這個使這件發生得很快的意外事件沒有造成慘禍的人──當時甚至別人來不及幫助他──就是馬蒂夫。

　　假使小說的作者聽到說，這樣的功勞并不需要一個像馬蒂夫那樣的“力大如虎”的巨人，而是每一個機智的人都能干的話，那他一定會非常驚奇。

　　力學告訴我們，纏在樁上的繩索，在滑動的時候，摩擦力可以達到極大的程度。繩索繞的圈數越多，摩擦力也就越大。摩擦力增長的規律是：如果因數按照算術級數加多，摩擦力就按照幾何級數增長。所以就是一個小孩子，只要能把繩索在一個不動的轆轤上繞三四圈，然后抓住繩頭，他的力量就能平衡一個極大的重物。在河邊的輪船碼頭上，常常有一些少年，就用這個方法使載著幾百個乘客的輪船靠碼頭。原來在這里幫助他們的，并不是他們異常的臂力，而是繩和樁子之間的摩擦力。

　　18世紀，著名數學家歐拉曾經確定了摩擦力跟繩索繞在樁子上的圈數之間的關系。我現在把歐拉的有用的公式引在下面，給那些不怕簡潔的代數語言的讀者參考：

　　F＝feka

　　在這個公式里，f代表我們所用的力，F代表我們所要對抗的力。e代表數2．718……（自然對數的底），k代表繩和樁子之間的摩擦系數。a代表繞轉角，也就是繩索繞成的弧的長度跟弧的半徑的比。

　　把這個公式應用在儒勒·凡爾納的故事里，所得的結果非常使人吃驚。這里，力F是沿著船塢滑下去的船對纜索的拉力。從小說里我們知道，船重50噸。假定船塢的坡度是1／10，那么，作用在纜索上的就不是船的全重，而是全重的1／10，也就是5噸或5000千克。

　　再說，把k──纜索和鐵樁之間的摩擦系數──的數值算做1／3。a的數值是不難計算的。如果我們假定馬蒂夫曾經把纜索繞樁3圈。這時候：

　　a=(3×2πr)／r=6π

　　把這些數值代進歐拉的公式，就可以得到：

　　5000＝f×2．726π×（1／3）＋＝f×2．722π

　　未知數（就是需要的人力）可以用對數求出來：

　　log5000＝logf＋2πlog2．72得到f＝9．3千克=93牛

　　因此，這個大力士只要用93牛頓的力就可以把纜索拉住，立下這次大功了！你別以為這個數值──93牛──不過是理論上的，實際需要的一定比這大得多。恰恰相反，這個數對我們說來已經太大了：古時候用來系船的是麻繩和木樁，在這兩種東西之間，摩擦系數k比上面所用的數值更大，所以所需要的力簡直小得可笑。只要繩索夠牢，吃得住拉力，就是力氣小的孩子，把它套在樁上繞三四圈以后，也能同樣立下這個儒勒·凡爾納小說里的大力士所立的功勞，或者還能勝過他哩。