康熙皇帝與符號代數

　　歐基里得（Euclid）曾說：“學習幾何學沒有王者之路！”。事實上，學習代數學亦然，譬如說吧，在中國數學史上鼎鼎大名的康熙皇帝，就在符號代數的學習過程中，表現了類似今日國中學生茫然不知所措的模樣，這個歷史經驗，實在很值得教學工作者參考與借鏡。

　　這里所指的符號代數，當然是清初傳教士傳入中國的西方數學知識。當時有兩種西方代數傳入中國，第一種被稱作“借根方比例法”，第二種則叫作“阿爾熱巴拉新法”。所謂“阿爾熱巴拉”，無疑是英文“algebra”的音譯，也曾被稱作“阿爾熱巴達”或“阿爾朱巴爾”（當是法文“algebre”的音譯）。其實，這幾個名稱也都曾指涉第一種，譬如在公元1711年，康熙皇帝與直隸巡撫趙宏燮討論數學時，就指出：

　　算法之理，皆出于‘易經’，即西洋算法亦善，原系中國算法，彼稱為“阿爾朱巴爾”者，傳自東方之謂也。

　　來年梅觳成入宮肄業于暢春園的蒙養齋，負責主編《數理精蘊》等書，康熙皇帝授以傳教士傳入的代數學，并且諭示：

　　西洋人名此書為阿爾熱巴達，譯言東來法也。

　　按此書可能是某傳教士所譯的《借根方算法節要》。至于在該書中不沿襲原名而改稱為“借根方法”，“乃譯書者就其法而質言之也。”換句話說，“借根方（比例）法”是一種“意譯”！后來奉康熙皇帝指示，梅觳成遂將它編入《數理精蘊》（1723）卷三十二 —— 三十六。

　　然則何以“algebra”是一種“東來法”呢？這就必須追溯這個英文字的語源了。原來“algebra”相當于拉丁文的“al-jabr”，出自阿拉伯數學家阿爾花拉子模（Al-Khwarizmi，第九世紀）的一本代數著作的書名 （Hisab al-jabr w‘al muqabala），原指“還原”（restoration）之意，例如將 2x+5 = 5-3x “還原”成 5x+5 = 8.這種代數不但未涉及符號法則（symbolism），當然也不曾引進文字系數；同時，方程式（equation，原意是令相等之后所得到的式子）兩端也像天平平衡一樣而不等于零，譬如二次方程就表示成像x +6x=4等等；此外，求解程序也都以文字敘述。后來再由意大利數學家卡丹（G. Cardano， 1501-1576）全盤接收，因此，對西歐人而言才有“東來法”之說。至于“符號代數”（symbolic algebra），則是第二種，亦即“阿爾熱巴拉新法”的主旨，源自法國數學家維達（F. Vieta， 1540-1603）著作《解析方法入門》（Introduction to Analytic Art，1591-95）的發明。它的特征除了代數方程的系數以文字符號表示、符號可以一如數目演算之外，方程式任何一端可以置零，譬如 ax +bx+c=0；還有，維達也特別強調代數是研究像二次方程這種“形式”（species or forms of things）的學問，而算術則完全訴諸數目（species of numbers）。

　　有趣的是，當時中國人為了安心學習西算，遂將“東來”解釋成來自中國，于是，梅觳成就以《測圓海鏡》（元李冶撰）與《數理精蘊》中例子，來比較“天元術”與“借根方法”，證明它們“名異而實同”。可惜，中土“不知何故遂失其傳，猶幸遠人慕化，復得故物”，“東來之名”正好表示西人不忘本，如此說來，中國人怎么可以不好好地學習西算呢。這是梅觳成為盛行于明末清初“西學中原說”所下的最佳注腳。

　　如此說來，康熙皇帝不可能對一樣是代數學的“阿爾熱巴拉新法”沒有興趣。問題是：何以由康熙皇帝主編的《數理精蘊》只字不提“新法”？最主要的原因之一是：康熙皇帝無法了解符號演算的意義。這當然也可能涉及引進者的數學素養及其數學傳統。事實上，《阿爾熱巴拉新法》是法國傳教士傅圣澤（Jean Francios Foucquet， 1665-1741）為了教導康熙皇帝學習“新代數”而寫的。一七一一年之后，傅圣澤應召入宮伴讀西方天算。有一天，康熙想知道傅圣澤對代數的看法，于是，傅圣澤遂趁機介紹“新代數”，并強調它比“舊”代數更簡單而且更具有一般性。其實，在《阿爾熱巴拉新法》卷一第一節中，傅圣澤即強調了“新法與舊法之所以異”：

　　或問：阿爾熱巴拉舊法，乃最深遠之法也，何為又有新法，意必舊法猶有未善者與？

　　答曰：舊法未嘗不善，但于通融之處，有所不及也，故又有新法濟之。

　　既然如此，那么二法何以區別呢？傅圣澤指出：“所以異者，因舊法所用之記號，乃數目字樣，新法所用之記號，乃可以通融之記號。”所謂“通融記號”，即是指代數符號，“在中華可以用天干地支二十二字以代之”。為了說明它的便利與巧妙，傅圣澤“試以一式明之。假如有一題，凡兩個數目字之平方，必包涵四件，乃每字之平方，與兩字相乘之兩長方，今將十二之兩數目字以發明其理。”請參閱我們從該書所復印下來的插圖及說明，即可發現傅圣澤試圖利用幾何意義從（10+2） =100+2（10）（2）+4來“類推”（a+b） = a +2ab+b ，此二項式被翻譯成（甲+乙）（甲+乙）= 甲甲+二甲乙+乙乙（請注意該書“加號”與“等號”與現行不同）。從教學觀點來看，傅圣澤的解釋可以說是盡心盡力了，不過，對西算造詣頗深的康熙皇帝還是作出如下的反應：

　　諭王道化：朕自起身起身以來，每日同阿哥等察《阿而熱巴拉新法》，最難明  白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 …… 還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法  平平耳。（參考《掌故叢編》二輯《清圣組諭旨二》）

　　在西方數學史上，符號代數在十六世紀末被發明之后，大約花了將近一世紀的時間才逐漸被數學家廣泛接受。究其原因，這些西方數學家應該跟康熙皇帝一樣，無法了解符號演算的意義。由此一歷史教訓，我們或可推論：符號代數的學習需要比較成熟的數學心智，因為即使天縱英明如康熙也表現得束手無策。所以，我們希望國中教師在講解一元一次方程的解法時，千萬多一點耐心與包容，因為從數目演算到符號演算這個“認知跳躍”，對貴賤賢愚顯然一視同仁，都是必須努力才能跨越的門坎！